求矩阵特征值算法及程序

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1、求矩阵特征值算法及程序简介1.幂法1、幂法规范化算法（1）输入矩阵、初始向量，误差；（2）；（3）计算；（4）；（5）；（6）如果,则显示特征值和对应的特征向量),终止；（7）,转（3）注：如上算法中的符号表示取向量中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。2、规范化幂法程序Clear[a,u,x];a=Input["系数矩阵A="];u=Input["初始迭代向量u(0)="];n=Length[u];eps=Input["误差精度eps="];nmax=Input["迭代允许最大次数nmax="];fmax[x_]:=Modu

2、le[{m=0,m1,m2},Do[m1=Abs[x[[k]]];If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1],{k,1,Length[x]}];m2]v=a.u;m0=fmax[u];m1=fmax[v];t=Abs[m1-m0]//N;k=0;While[t>eps&&k

3、]]说明：本程序用于求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵、迭代初值向量、精度控制和迭代允许最大次数，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。程序中变量说明a:存放矩阵；u:初始向量和迭代过程中的向量及所求特征向量；v:存放迭代过程中的向量；m1:存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值；nmax:存放迭代允许的最大次数；eps:存放误差精度；fma

4、x[x]:给出向量x中绝对值最大的分量；k:记录迭代次数；t1:临时变量；注：迭代最大次数可以修改为其他数字。3、例题与实验例1.用幂法求矩阵的按模最大的特征值及其相应特征向量，要求误差。解：执行幂法程序后在输入的四个窗口中按提示分别输入:{{133,6,135},{44,5,46},{-88,-6,-90}}、{1,1,1}、0.0001、20每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，得如下输出结果：此结果说明迭代6次，求得误差为0.0000101442的按模最大的特征值为44.99999952,及其对应的一个特征向量:{1.000000000,0.333333337

5、1,-0.6666666704}2.反幂法1、反幂法规范化算法（1）输入矩阵、初始向量，误差；（2）；（3）计算求出解；（4）；（5）；（6）如果,则显示特征值和对应的特征向量),终止；（7）,转（3）注：如上算法中解方程可以使用Dololittle分解法。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。2、规范化反幂法程序Clear[a,u,x];a=Input["系数矩阵A="];u=Input["初始迭代向量u(0)="];n=Length[u];eps=Input["误差精度eps="];nmax=Input["迭代允许最大次数nmax="];fm

6、ax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2},Do[m1=Abs[x[[k]]];If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1],{k,1,Length[x]}];m2];v=a.u;a1=Inverse[a];m0=fmax[u];m1=fmax[v];t=Abs[m1-m0]//N;k=0;While[t>eps&&k

7、,10]];Print["特征向量=",N[u,10]]];If[k³nmax,Print["迭代超限"]]说明：本程序用于求矩阵按模最小的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵、迭代初值向量、精度控制和迭代允许最大次数，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序。如果迭代超出次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。程序中变量说明a：存放矩阵u：初始向量和迭代过程中的向量及所求特征向量v:存放迭代过程中