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1、普通矩阵特征值的QR算法摘要求矩阵的特征值有多种不同的办法，本文主要介绍用QR法求矩阵的特征值，QR法是目前求中等大小矩阵全部特征值的最有效方法之一，使用于求实矩阵或复矩阵的特征值，它和雅可比法类似，也是一种变换迭代法。关键词：QR分解迭代序列特征值Matlab一、QR方法的理论：对任意一个非奇异矩阵（可逆矩阵）A，可以把它分解成一个正交阵Q和一个上三角阵的乘积，称为对矩阵A的QR分解，即A=QR。如果规定R的对角元取正实数，这种分解是唯一的。若A是奇异的，则A有零特征值。任取一个不等于A的特征值的实
2、数μ，则A‐μI是非奇异的。只要求出A‐μI的特征值和特征向量就容易求出矩阵A的特征值和特征向量，所以假设A是非奇异的，不是一般性。设A=A1，对A1作QR分解，得A1=Q1R1，，交换该乘积的次序，得A2=R1Q1=，由于Q1正交矩阵，A1到A2的变换为正交相似变换，于是A1和A2就有相同的特征值。一般的令A1=A，对k=1，2，3，…..⎧A=QR(QR分解)kkk⎨A=RQ(迭代定义)⎩k+1kk这样，可得到一个迭代序列{Ak}，这就是QR方法的基本过程。二、QR方法的实际计算步骤⎛⎞∗....
3、........∗⎜⎟*:O⎜⎟第一步⎜⎟O∗:A−−−−−→上HessenbergB阵=⎜⎟用阵Householder⎜⎟∗∗:作正交相似变换⎜⎟OO:⎜⎟⎜⎟⎝⎠*∗Householder变换：如果v给出为单位向量而I是单位矩阵，则描述上述线性变*换的是豪斯霍尔德矩阵（v表示向量v的共轭转置）H=I ‐2VV*⎡λ1**L⎤第二步⎢⎥λM⎧BQ=R⎢2⎥kkkB−−−−−−−→⎨→⎢O*⎥用Given变换产生迭代序列⎩BR=Qkk+1k⎢⎥λ⎣n⎦⎛⎞∗∗⎜⎟*OO⎜⎟⎜⎟O∗*A（对称阵）−−−
4、−−→三对角阵B=⎜⎟用阵Householder⎜⎟∗∗O作正交相似变换⎜⎟OO∗⎜⎟⎜⎟⎝⎠*∗三、化一般矩阵为Hessenberg阵称形如⎡hh1112Lhh1nn−11⎤⎢⎥hhLhh⎢21222nn−12⎥H=⎢hhLh⎥32333n⎢⎥⎢OOM⎥⎢hh⎥⎣nn−1nn⎦的矩阵为上海森堡（Hessenberg）阵。如果此对角线元(i=2,3,….n)全不为零，则该矩阵为不可约的上Hessenberg矩阵。用Householder变换将一般矩阵A相似变换为Hessenberg矩阵。首先，选取Ho
5、useholder矩阵，使得经相似变换后的矩阵的第一列中有尽可能多的零元素。为此，应取为如下形式⎡⎤10L0⎢⎥0H=⎢⎥1⎢⎥MH1⎢⎥⎢⎥⎣⎦0其中H1为n‐1阶Householder矩阵。⎡⎤TaaH1112于是有HAH=⎢⎥11⎢⎥⎣⎦H1aHAH11221⎡aaL⎤222nTT⎢⎥aaaaaaaa==(,,,),LL(,,,),A=MLM12131nn121213122⎢⎥⎢aaL⎥⎣nn2n⎦T只要取H1使得Ha1=(,0σ,,0L)，就会使得变换后的矩阵HAH的第一列出1111现n‐2个
6、零元。同理，可构造如下列形式Householder矩阵⎡⎤100L0⎡***L*⎤⎢⎥⎢⎥010L0***L*⎢⎥⎢⎥H=⎢⎥00使得HHAHH=⎢**L*⎥22112⎢⎥⎢⎥⎢⎥MMH2⎢MOM⎥⎢⎥⎣⎦00⎢⎣***⎥⎦如此进行n‐2次，可以构造n‐2个Householder矩阵HH,,L,H，使得12n−2HLLHHAHHH=H。其中H为上Hessenberg矩阵。特别地，当An−22112n−2为实对称矩阵，则经过上述正交变换后，H变为三对角阵。用Householder方法对矩阵A作正交相似变
7、换，使A相似于上Hessenberg阵，算法如下：kn=−1,2,...,2（1）计算1(1kk++)(1)THIUU=−()k+1ρk+1n122σkk++11=signa()，k((∑aik)),ik=+1ρσσ=+()akk++11kk++11，k(1k+)Ua=+(0,...,0,σ,a,...,a)kk+++112，kk,knk（2）计算HAA→k+1jkk=+,1,,Lnn1(1k+)（）1(tuj=∑llaj)ρk+1lk=+1（）21ik=+,L,n(1k+)aat=−uijijji（
8、3）计算AHA→k+1in=1,...,n1(1k+)(1)taii=∑lulρk+1lk=+1(2)jk=+1,...,n(1k+)aat=−uijijij四、上Hessenberg阵的QR分解对上Hessenberg阵只需要将其次对角线上的元素约化为零，用Given变换比用Householder变换更节省计算量。1、平面旋转阵（Givens变换阵）定义n阶方阵⎡⎤1⎢⎥O⎢⎥⎢⎥1⎢⎥⎢⎥cosθθsin−−i⎢⎥1⎢⎥Rij,=⎢⎥O⎢⎥1⎢⎥⎢⎥
