高考数学专题三三角函数、平面向量第三讲平面向量学案理.doc

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1、第三讲　平面向量考点一　平面向量的概念及线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)A.－B.－C.＋D.＋[解析]　∵E是AD的中点，∴＝－，∴＝＋＝－＋，又∵D为BC的中点，∴＝(＋)，因此＝－(＋)＋＝－，故选A.[答案]　A2．(2018·河北三市联考)已知e1

2、，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且21mn≠0，若a∥b，则等于(　　)A．－B.C．－2D．2[解析]　∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ(ne1－e2)，则故＝－2.[答案]　C3．(2018·河南郑州质检)已知P为△ABC所在平面内一点，D为AB的中点，若2＋＝(λ＋1)＋，且△PBA与△PBC的面积相等，则实数λ的值为________．[解析]　∵D为AB的中点，∴2＝＋，又∵2＋＝(λ＋1)＋.∴＋＋＝(λ＋1)＋∴＝λ，又△PBA与△PBC的面积相等，∴P为AC的中点，∴λ＝－1.[答案]　－14．(2018·盐城一模)在△ABC中，∠A＝60

3、°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为________．[解析]　因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.[答案]　3[快速审题]　(1)看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则．(2)看到向量平行，想到向量平行的条件．21平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利

4、用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．考点二　平面向量的数量积1．平面向量的数量积有两种运算形式(1)数量积的定义：a·b＝

5、a

6、

7、b

8、cosθ(其中θ为向量a，b的夹角)．(2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.2．投影向量a在向量b方向上的投影为＝

9、a

10、cosθ(θ为向量a，b的夹角)．[对点训练]1．已知

11、a

12、＝1，b＝(－1,1)且a⊥(a＋b)，则向量a与向量b的夹角为(　　)A.B.C.D.[解析]　设向量a与向量b的夹角为θ，因为a⊥(a＋b)

13、，所以a·(a＋b)＝0，即

14、a

15、2＋a·b＝1＋

16、a

17、

18、b

19、cosθ＝1＋cosθ＝0，cosθ＝－，θ＝，故选D.[答案]　D2．(2018·陕西西安八校联考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影是(　　)A．－3B．－C．3D.[解析]　依题意得，＝(－2，－1)，＝(5,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，

20、

21、＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，选A.[答案]　A3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，－6)，若向量c满足c与b的夹角为120°，c·(4a＋b)＝5，则

22、c

23、＝(　　)21A．1B.C．2D．2[解析]

24、　依题意可得

25、a

26、＝，

27、b

28、＝3，a∥b.由c·(4a＋b)＝5，可得4a·c＋b·c＝5.由c与b的夹角为120°，可得c与a的夹角为60°，则有b·c＝

29、b

30、

31、c

32、cos120°＝

33、c

34、×3×＝－

35、c

36、，a·c＝

37、a

38、

39、c

40、cos60°＝

41、c

42、××＝

43、c

44、，所以4×

45、c

46、－

47、c

48、＝5，解得

49、c

50、＝2，故选D.[答案]　D4．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.[解析]　因为·＝2·，所以·－·＝·，所以·＝·.因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2

51、

52、＝

53、

54、

55、

56、cos，化简得

57、

58、＝2.故·＝·(＋)＝

59、

60、2＋·＝(2)

61、2＋2×2cos＝12.[答案]　12[快速审题]　(1)看到向量垂直，想到其数量积为零．(2)看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式．平面向量数量积的两种运算方法(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化．21考点三　平