基于高斯和的滤波算法研究.pdf

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硕士学位论文（中文题名）基于高斯和的滤波算法研究（英文题名）ResearchonFilteringAlgorithmBasedonGaussSum研究生:张曼导师:陈金广（副教授）田春娜（副教授）学院:计算机科学学院学科专业:计算机技术学位类型:专业学位学位授予年度:2015年6月 学校代码10709中图分类号TP391UDC密级：□公开□保密硕士学位论文（专业学位）论文题名:基于高斯和的滤波算法研究研究生：张曼学号：2012105导师（校内）：陈金广（副教授）导师（校外）：田春娜（副教授）学院：计算机科学学院专业领域：计算机技术申请学位：工程硕士答辩委员会主任委员：邓成（教授博士生导师）答辩日期：2015年5月24日 基于高斯和的滤波算法研究摘要：高斯和滤波理论主要用于处理系统噪声为非高斯分布、或非线性系统模型的后验概率密度不能用单个高斯分布来近似的情况。目前，航空航天、电子信息和目标跟踪等领域都广泛和充分的应用了高斯和理论。针对各种特定条件下的系统，学者们结合高斯和思想，推导出了相应特定环境下的滤波算法：例如适用于线性系统的高斯和卡尔曼滤波算法、能够处理弱非线性系统的高斯和扩展卡尔曼滤波算法、能够解决强非线性系统的高斯和粒子滤波算法等。但是目前的研究成果还有两个方面的不足没有得到完全彻底的解决：一方面是由于算法本身的缺陷使得滤波效果不够好，另一方面是某些条件下的滤波问题还没有相应的算法能够处理。因此本课题在现有算法的基础上作进一步的改进和研究，提出滤波精度更高和能够处理其他不同条件下的高斯和滤波算法。本课题完成的研究内容包括:（1）欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法由于环境和设备的影响，滤波过程中常常带有未知的量测系统误差，欠观测条件下的增量卡尔曼滤波算法能够在很大程度上去除这种误差，很好地进行状态跟踪。然而，当系统过程噪声以及系统量测噪声是非高斯分布的情况下，这种方法不能直接使用。针对该问题，本课题结合高斯和的理论思想，提出一种欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法。该算法将初始状态、系统过程噪声以及系统量测噪声都用高斯和的方式来近似，接着按照增量卡尔曼滤波的思想对每个高斯项做预测以及更新，最后以累加和的形式近似的表示出系统的状态估计值。仿真结果表明：该算法在非高斯噪声分布的情况下，既能成功地消除量测系统误差，又能有效地提高滤波估计的准确度和可靠性。（2）基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法当系统为强非线性高斯分布系统，且量测方程的非线性函数比较复杂，Jacobian矩阵的求解比较困难时，通过采用弦线法去导并结合IEKF算法进行状态估计，但是当系统的非线性较强且满足非高斯分布时，这种算法不再适用。针对该问题，本课题提出基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法。该算法使用高斯和滤波理论来处理非高斯分布的情况，同时采用割线法，即求解两点间的割线斜率代替Jacobian矩阵，这样避免了不易求解Jacobian矩阵带来的困扰。仿真实验证明：该算法能够提高滤波精度，能有效地进行状态估计和状态跟踪。（3）有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法标准卡尔曼滤波算法要求系统的过程噪声以及系统的量测噪声的均值都是零而且要是高斯白噪声。然而在实际应用的过程中，经常会遇到噪声是非高斯分布的有I 色噪声，因此不能直接应用卡尔曼滤波算法。针对该问题，我们结合处理有色噪声的滤波思想以及高斯和滤波理论，提出了有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法。首先，分别采用状态扩维以及量测扩维的方法对系统的过程噪声和系统的量测噪声进行白化处理。然后，根据高斯和滤波思想，用多个高斯项的叠加来近似非高斯分布，实现对系统的状态估计。仿真实验能够证明，本文提出的新算法能够消除有色噪声的影响，有效地追踪目标状态。关键词：高斯和滤波；非高斯分布；增量卡尔曼滤波；去导；有色噪声II ResearchonFilteringAlgorithmBasedonGaussSumABSTRACT：Gausssumfilteringtheoryismainlyusedforprocessingthesituationsthatsystemnoiseisnon-GaussdistributionandposteriorprobabilitydensityofthenonlinearsystemmodelcannotbeapproximatedbyusingthedistributionofthesingleGauss,nowitiswidelyusedinthefieldsofaerospace,electronicinformationandtargettrackingetc.Accordingtodifferentsystemconditions,thescholarshavepresenteddifferentGausssumfilteringalgorithms:GaussSumKalmanFilteringalgorithmforlinearsystems,GaussSumExtendedKalmanFilteringalgorithmfordealingwithweaknonlinearsystem,GaussSumParticleFilteralgorithmforsolvingstrongnonlinearsystem.Buttheexistingresearchresultsexisttwoproblems:Ontheonehandisduetodefectsinthealgorithmitself,thefiltereffectisnotgood,ontheotherhandisfilteringproblemundercertainconditionsisalsonocorrespondingalgorithmcouldhandleit.Sotheresearchmakesthefurtherimprovementandresearchbasedontheexistingalgorithms,putforwardtheGausssumfilteringalgorithmsthereishigherfilteringaccuracyandcouldhandleotherdifferentsystemconditions.Contentsoftheresearchcompletesincludes:(1)GaussianSumIncrementalKalmanFilterunderpoorobservationconditionDuetotheinfluenceofenvironmentandequipment,systemerrorunknownoftenwiththeprocessoffiltering,incrementalKalmanfilterunderpoorobservationconditioncaneliminateunknownmeasurementsystemerrorsandverygoodonthestatetracking.However,whenthesystemprocessnoiseandmeasurementnoisearesubjecttonon-Gaussiandistributions,thealgorithmcannotbeuseddirectly.Addressingthisproblem,wepresentaGaussiansumincrementalKalmanfilterunderpoorobservationconditionthoughcombiningwiththeGaussiansumfilteringalgorithm.Inthealgorithm,theinitialstate,processnoiseandmeasurementnoiseareapproximatedbytheformofGaussiansum.TheneachGaussianitemisusedtopredictandupdateaccordingtotheincrementalKalmanfiltertheory.Finally,statevalueisapproximatedbyusingtheformofaccumulatedsum.Simulationresultsshow,insystemswithnon-Gaussiannoisedistribution,theproposedalgorithmcaneliminatethemeasurementsystemsuccessfully,andcanimprovetheaccuracyandreliabilityeffectively.(2)GaussianSumDerivativeFreeIteratedExtendedKalmanFilterWhenthesystemisastrongnonlinearGaussdistributionsystem,andthenonlinearfunctionofthemeasurementequationiscomplex,thesolutionoftheJacobianmatrixisdifficult,wecanuseDerivativeFreeIteratedExtendedKalmanfilteringalgorithmforstateestimation,butwhenthesystemisastrongnonlinearandnon-Gaussdistribution,thealgorithmisnolongersuitable.Addressingthisproblem,wepresentaGaussianSumIII DerivativeFreeIteratedExtendedKalmanfilteringalgorithm.ThealgorithmusesGausssumfiltertheorytodealwiththenon-Gaussdistribution,whileusingthesecantmethod,namelythesecantlinebetweentwopointsinsteadofsolvingJacobianmatrix,avoidingtheproblemthatsolvingtheJacobianmatrixisdifficult.Simulationexperimentshowthat:thealgorithmcanimprovetheprecisionofKalmanfilter,andcantrackthetargeteffectively.(3)GaussianSumKalmanFilterwithcolorednoisesItisassumedthattheprocessnoiseandmeasurementnoiseareGaussianwhitenoiseswithzeromeaninthestandardKalmanfilter.However,thereareoftencolorednoiseswithnon-Gaussiandistributioninapplications.Atthistime,thestandardKalmanfilterdoesnotwork.Addressingatthisproblem,thepaperproposedaGaussiansumKalmanfilterwithcolorednoises.First,thecolorednoisesarewhitedbythestateaugmentationandmeasurementaugmentation.Second,accordingtotheideaoftheGaussiansumfilter,non-GaussiandistributionisapproximatedbyusingthesummationofmultipleGaussianitems,andthestateisestimatedaccurately.Theexperimentalresultsshowthattheproposedalgorithmcaneliminatetheinfluenceofthecolorednoiseseffectivelyandenhancethefilteringaccuracy.ManZhang(MajorinComputerTechnology)DirectedbyJin-guangChenKeyWords:Gaussiansumfilter；non-Gaussdistribution;incrementalKalmanfilter；derivativefree；colorednoisesClassification:TP391IV 目次1绪论......................................................................................................................11.1研究背景和研究意义......................................................................................11.2国内外研究现状..............................................................................................21.3本文的主要工作和章节安排..........................................................................42欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法......................................................72.1引言..................................................................................................................72.2问题描述..........................................................................................................82.3高斯和滤波......................................................................................................82.4高斯和增量卡尔曼滤波................................................................................102.5仿真实验及结果分析....................................................................................122.6本章小结........................................................................................................163基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法............................................193.1引言................................................................................................................193.2问题描述........................................................................................................193.3基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法....................................203.4仿真实验及结果分析....................................................................................223.5本章小结........................................................................................................254有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法........................................................274.1引言................................................................................................................274.2问题描述........................................................................................................284.3有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波........................................................284.4仿真实验及结果分析....................................................................................334.5本章小结........................................................................................................355总结与展望............................................................................................................375.1总结................................................................................................................375.2展望................................................................................................................38参考文献......................................................................................................................41作者攻读学位期间发表学术论文清单......................................................................47致谢..............................................................................................................................49 绪论1绪论1.1研究背景和研究意义信号既能承载消息，又能以各种形式呈现消息。比如一个人说话，声波传到另一个人的耳朵里，听话者会因此获取到说话者的消息，声波就是一种信号。在航空航天、电子信息、目标跟踪等工程领域中，信号通常是各种形式的电压或电流，根据电压或电流的相位、频率、幅值等特征可以得到相应的信号。信号按照取值特征可以归类为数字信号以及模拟信号。数字信号是指信号在传输过程中，它的值是离散的，从一个值瞬间变化到另一个值，而模拟信号的值在传输过程中是连续的。由于外界影响、设备自身会产生噪声的影响，信号在输送和传导的过程中肯定会遇到干扰。为了排除这些无用信号的干扰，获取到有效信号，就要使用滤波技术。从各种混合在一起的信号中提取出有效信号的过程就是在对信号做滤波处理。在不同的条件下会产生不同的信号，那么提取所需信号的手段也会不同，也就是说在不同的条件下，要采用不同的滤波手段来提取所需信号。为此，国内外的研究人员针对滤波技术展开了不断的改进和探索。Kalman在1960年提出了卡尔曼滤波[1](KalmanFilter,KF)算法。该算法首先建立一个由状态方程和量测方程组成的系统模型，然后进行预测和更新两个步骤，从对信号的观测值中估计出所需的信号。所以，Kalman滤波并不是将干扰信号过滤掉的意思，它只是状态估计的一种最优方法。这里的估计是指，在观测到的数据中会带有各种各样的干扰信息，通过对这些观测到的数据进行相关处理，可以得到有效信号的各种数据的估计值。Kalman滤波被应用于各种工程领域中，例如GPS定位、目标跟踪、信息融合、航空航天和通信等领域。正如前边介绍的，不同性质的信号要采用不同的滤波方法，因此Kalman滤波不能解决所有的估计问题。它只是适用于线性系统，同时要求系统的过程噪声以及系统的量测噪声是高斯分布条件下的白噪声。当系统为非线性系统、系统噪声为非高斯分布或者系统噪声为有色噪声的时候，该算法就不再适用，为此，国内外的研究学者们在Kalman滤波的基础上进行拓展和改进，相继推导出了扩展卡尔曼滤波算法[2-3](ExtendedKalmanFilter,EKF)、不敏卡尔曼滤波算法[4](UnscentedKalmanFilter,UKF)、粒子滤波算法[5-7](ParticleFiltering,PF)等一系列有效的滤波方法,并且应用于工程实践中。随着科技不断进步，人们对滤波精度、时间效率和实用性的要求也越来越高，因此针对滤波问题，学者们仍然在不断地探索和研究中，希望能够提出更好的滤波算法，以满足社会的发展和人们的需求。1 西安工程大学硕士学位论文1.2国内外研究现状最早提出的用来进行估计的方法是Gauss于1795年提出的最小二乘估计方法。最小二乘估计虽然在计算上简单易行，但它考虑的数据统计特性不够全面。到了1912年，Fisher从概率密度的角度出发来进行估计，得出了另一种估计方法-极大似然估计，该算法在估计理论的发展史上起到了重要的作用。随后，美国学者Wiener提出了Wiener滤波，但是Wiener滤波的使用范围很有局限性，只适用于一维条件下而且是平稳随机过程的信号滤波，因为该算法用来存放数据的储蓄量大，而且运算非常复杂。针对Wiener滤波的不足之处，Kalman于1960年提出了Kalman滤波，这是一个具有代表性的研究。Kalman滤波，采用实时递推形式实现系统的估计问题，运算简单，数据的存储量小，因此克服了Wiener滤波的缺陷。与此同时，该算法既可以处理一维系统也可以处理多维系统；既能解决平稳随机过程的信号滤波问题，又能解决非平稳随机过程的信号滤波问题。由于卡尔曼滤波的这些优点非常适用于工程实践，因此在实际工程中得到了充分的应用。Kalman滤波是一种最优的状态估计方法，但它要求系统为线性系统，而且要求系统的过程噪声和量测噪声为高斯分布的白噪声序列。然而在工程实践中往往会遇到非线性系统，为此，学者们开始研究如何将Kalman滤波理论拓展到非线性系统中。EKF滤波算法就是Bucy以及Sunahara等研究学者们为了处理非线性系统的状态估计问题，提出的相应滤波算法。该算法的思想是把系统的非线性状态方程以及非线性量测方程近似的表示为线性的状态方程以及线性的量测方程。其过程是将系统的状态方程和量测方程中的非线性函数按照一阶泰勒级数展开，并且只取其前两项，其余项都略去。EKF将非线性近似为线性，所以只有当非线性因子接近线性时，它的滤波效果才会较为精确，而当非线性系统的强度较大时，它的滤波效果就会降低；而且滤波的时间一直增加，那么滤波过程中的误差便一直累积，这样就会造成滤波发散的结果。为此，文献[8]中提出了一种二阶扩展Kalman滤波算法，文献[9]提出了一种迭代扩展卡尔曼滤波算法(IteratedExtendedKalmanFilter,IEKF)。但是这些算法与EKF滤波算法有着同样的滤波思想，都是将非线性系统近似为线性系统，因此并不能从根本上解决问题。针对EKF算法将系统模型进行线性化近似带来的缺陷[10]，Juiler等人提出了UKF算法。UKF滤波是经过一种不敏变换的过程，选出符合一定条件的样本点，然后通过这些样本点近似的表示出系统的概率密度分布函数，该过程不需要将系统的状态方程以及系统的量测方程做线性化的处理，从而保留了EKF滤波中省略的高阶项，因此该算法的滤波效果有所提高。而且即使是系统的非线性较强时，此算法的精度2 绪论也相对较高。不仅如此，当系统为线性系统时，同样可以应用UKF算法,其滤波效果与Kalman滤波效果相同；当系统噪声为加性噪声时，也可以使用UKF进行状态估计。除了EKF算法、UKF算法，还有积分卡尔曼滤波(QuadratureKalmanFilter,QKF)[11-13]算法、容积卡尔曼滤波(CubatureKalmanFilter,CKF)[14]算法、中心差分卡尔曼滤波(CentralDividedDifferencesKalmanFilter,CDKF)[15]算法等，这些算法都各自有各自的优缺点，分别适合于不同的特定条件下。但这些算法要求系统的噪声分布满足高斯分布，而实际应用中会发现，系统往往是非线性、非高斯分布系统，那么这些算法的应用就受到了限制。我们急需研究出新的滤波算法用以解决非高斯分布的状态估计问题。对于非线性非高斯分布的状态估计问题，国外学者们提出了粒子滤波。这种滤波的主要思想是利用序贯蒙特卡罗方法和序贯重要性采样(SequentialImportantSampling,SIS)方法，首先根据系统的先验概率密度函数生成一系列的粒子，新生成的粒子都带有相应的权值，接着根据采样方法不断的更新这些粒子的权值和位置，然后采用最新的粒子来更新最开始的先验概率密度分布函数，从而得到系统的后验概率密度分布函数。序贯重要性采样方法的粒子退化现象比较严重，换言之就是，跟随时间的推移，大量粒子的权重会变得特别小，只有个别粒子的权值较大，这样得到的后验概率密度分布函数与系统状态的真实分布相差较大，造成滤波精度降低。随后，学者们提出了重采样方法，重采样方法虽然能够降低粒子退化的严重程度，但也使粒子多样性受到损失，造成样本枯竭。降低粒子退化现象还有其他的途径，就是选取好的重要性概率密度分布函数，为此，国内外学者们又提出了一系列的改进算法：扩展卡尔曼粒子滤波(ExtendedKalmanParticleFilter,EKPF)[16]算法、辅助粒子滤波(AuxiliaryParticleFilter,APF)[17]算法、边缘粒子滤波(MarginalizedParticleFilter,MPF)[18]算法等。但粒子滤波及其改进算法有一个共同的缺陷，就是计算量大，实时性差，而且在其他方面也需做一些改进，因此针对粒子滤波还要进行大量的研究工作。文献[19]提出的高斯和滤波(GaussianSumFilter,GSF)算法也是一种用来解决非线性非高斯系统的状态估计问题的有效方法。该算法的基本思想是，任意的概率密度分布函数都能够用多个高斯分布的叠加来近似体现并表示。在滤波过程中跟随时间的增加，高斯项的数量会以指数的数量增加，那么必然会造成计算量庞大，实时性差的缺陷，针对该问题，可以通过合并[12]和修剪[20-21]来减少高斯项的数量。首先确定高斯项数量的最大值G，滤波过程中不停地对高斯项的数量进行判断，如果数量超过G，则首先保留G个权值较大的高斯项，再将剩余权值较小的且邻近的高斯3 西安工程大学硕士学位论文项合并，将取值较小且没有邻近高斯项的舍去，最后按照最新的高斯项进行状态估计。高斯和滤波思想在非线性非高斯滤波问题上具有广泛性，不具一般性，近年来，国内外的研究学者结合高斯和滤波思想和某种特定条件下的滤波算法，提出了一系列更具一般性的高斯和滤波算法：文献[22]结合自适应卡尔曼滤波提出一种改进的高斯和自适应卡尔曼滤波算法、文献[23]结合均差滤波提出一种新的高斯和滤波算法、文献[24]基于不敏变换提出另一种自适应高斯和滤波算法等。虽然学者们针对一些特定的条件提出了相应的高斯和滤波算法，但这些还远远不能满足人们的需求，国内外的研究人员还在不断的改进和探索，希望能够提出更好的滤波算法。1.3本文的主要工作和章节安排高斯和滤波理论主要用于处理系统噪声为非高斯分布、或非线性系统模型的后验概率密度不能用单个高斯分布来近似的情况。目前，航空航天、电子信息和目标跟踪等领域都广泛和充分的应用了高斯和理论。针对各种特定条件下的系统，学者们结合高斯和思想，推导出了相应特定环境下的滤波算法：例如适用于线性系统的高斯和Kalman滤波算法、能够处理弱非线性系统的高斯和扩展Kalman滤波算法、能够解决强非线性系统的高斯和粒子滤波算法等。但是目前的研究成果还有两个方面的不足没有得到完全彻底的解决：一方面是由于算法本身的缺陷使得滤波效果不够好，另一方面是某些条件下的滤波问题还没有相应的算法能够处理。因此本课题在现有算法的基础上作进一步的改进和研究，提出滤波精度更高和能够处理其他不同条件下的高斯和滤波算法。本课题来源于国家自然科学基金项目（61201118），完成的主要内容包括：（1）欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法由于环境和设备的影响，滤波过程中常常带有未知的量测系统误差，欠观测条件下的增量卡尔曼滤波算法能够在很大程度上去除这种误差，很好地进行状态跟踪。然而，当系统过程噪声以及系统量测噪声是非高斯分布的情况下，这种方法不能直接使用。针对该问题，本课题结合高斯和的理论思想，提出一种欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法(GaussianSumIncrementalKalmanFilterunderpoorobservationcondition,GSIncrementalKF)。该算法将初始状态、系统过程噪声以及系统量测噪声都用高斯和的方式来近似，接着按照增量卡尔曼滤波的思想对每个高斯项做预测以及更新，最后以累加和的形式近似的表示出系统的状态估计值。仿真结果表明：该算法在非高斯噪声分布的情况下，既能成功地消除量测系统误差，又能有效地提高滤波估计的准确度和可靠性。（2）基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法4 绪论当系统为强非线性高斯分布系统，且量测方程的非线性函数比较复杂，Jacobian矩阵的求解比较困难时，通过采用弦线法去导并结合迭代扩展卡尔曼滤波算法进行状态估计，但是当系统的非线性较强且满足非高斯分布时，这种算法不再适用。针对该问题，本课题文提出基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法(GaussianSumDerivativeFreeIteratedExtendedKalmanFilter,GS-DF-IEKF)。该算法使用高斯和滤波理论来处理非高斯分布的情况，同时采用割线法，即求解两点间的割线斜率代替Jacobian矩阵，这样避免了不易求解Jacobian矩阵所带来的困扰。仿真实验证明：该算法能够提高滤波精度，能有效地进行状态估计和跟踪。（3）有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法标准卡尔曼滤波算法要求系统的过程噪声以及系统的量测噪声的均值都是零而且要是高斯白噪声。然而在实际应用的过程中，经常会遇到噪声是非高斯分布的有色噪声，因此不能直接应用卡尔曼滤波算法。针对该问题，我们结合处理有色噪声的滤波思想以及高斯和滤波理论，提出了有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波(GaussianSumKalmanFilterwithcolorednoises,ColoredGS-KF)算法。首先，分别采用状态扩维以及量测扩维的方法对系统的过程噪声和系统的量测噪声进行白化处理。然后，根据高斯和滤波思想，用多个高斯项的叠加来近似非高斯分布，实现对系统的状态估计。仿真实验能够证明，本文提出的新算法能够消除有色噪声的影响，有效地追踪目标状态。本文的章节安排如下：第一章：介绍了高斯和滤波算法的研究背景、研究意义、目前的研究情况以及本课题主要完成的工作。第二章：介绍了高斯和滤波算法、高斯和增量卡尔曼滤波算法，给出仿真实验，分析实验结果。第三章：介绍了基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法，给出仿真实验，分析实验结果。第四章：介绍了系统的过程噪声以及系统的量测噪声都是有色噪声时的高斯和卡尔曼滤波算法，给出仿真实验，分析实验结果。第五章：对本课题的研究工作进行概括，并对本课题的研究内容提出展望，简单介绍了本课题还有待做进一步探索和研究的内容。5 西安工程大学硕士学位论文6 欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法2欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法2.1引言Kalman滤波算法不但能够用于解决平稳随机系统的状态估计问题，而且能够解决多维、时变以及非平稳的随机系统的状态估计问题。目前在导航、定位、目标跟踪等各个领域[25]都得到了广泛而充分的应用。然而，滤波过程中系统受周围环境、量测设备等影响较大，本身会产生未知的量测系统误差，虽然现在已有一些自校准技术，但是这些自校准技术要求满足的条件很难达到，特别是在深空探测等实际应用中，无法在所有的环境条件下都采取这些技术来处理系统误差。当滤波系统在某种条件下存在量测系统误差，而未能对其做较准时，称这种情况是欠观测的。如果在欠观测条件下直接使用Kalman滤波算法，量测系统的误差没有消除，滤波精度较差。针对该情况，傅惠民等人提出了一种增量卡尔曼滤波算法（IncreameantalKF）。该算法能够在很大程度上消除量测系统误差，较为精确的估计出状态值[26]。为了解决欠观测条件下系统是非线性分布的状态跟踪问题，继而提出了欠观测条件下的扩展增量卡尔曼滤波（IncreameantalEKF）[27]。当系统的非线性程度较弱时，这种方法能在一定程度上去除量测系统误差，提高状态估计的精度。然而，这些算法都要求系统初始状态、系统过程噪声以及系统量测噪声的分布是高斯的，否则滤波精度会明显降低。GSF算法能够较好地解决非高斯分布条件下的状态估计问题。该算法的思想是将非高斯分布看成多个高斯分布的叠加，即对每个高斯分布进行状态估计，然后以累加和的形式近似估计全局的状态分布。文献[28]介绍了非高斯噪声条件下，使用高斯和滤波器进行递推贝叶斯估计的算法，但是该算法只适用于线性系统。随后，文献[19]基于EKF，推导出了系统是非高斯分布时的GSF算法。文献[22]基于自适应Kalman滤波(AdaptiveKalmanFilter,AKF)提出了相应的高斯和自适应Kalman滤波算法。该算法解决了以往算法中高斯项不断增加的问题，同时通过实验证明，在非高斯噪声条件下，该算法能够有效的进行状态估计。文献[23]利用均差滤波算法和GFS思想，提出相应的GSF算法。在噪声是非高斯分布的情况下，这种算法比PF算法的计算复杂度低，同时当似然函数位于先验分布的尾部时，该算法比PF算法的滤波精度要高。文献[29]详细介绍了GSF算法，推导出基于不敏变换的GSF算法。文献[30]提出了高斯厄密特高斯和滤波器，可以解决系统噪声分布是非高斯、均值不为零的估计问题。文献[24]基于一种不敏变换的AKF，提出相应的GSF算法，其滤波特性优于基于扩展Kalman滤波的高斯和算法。文献[31]提出了一种基于7 西安工程大学硕士学位论文粒子滤波的高斯和滤波器，通过仿真实验对比得出，该算法的性能优于基于EKF的高斯和滤波算法。文献[32]提出了基于CKF的高斯和滤波算法，这种算法相比基于PF的高斯和滤波器，能够降低计算复杂度。以上算法均未考虑存在量测系统误差的情况，即欠观测条件下的滤波问题。当存在量测系统误差的时候，IncrementalKF算法虽然能够消除量测系统误差，有效地提高滤波精度，但是当系统过程噪声以及系统量测噪声的分布是非高斯时，该算法不能直接使用，如果采用近似方法间接使用，则滤波结果的准确度和可靠性降低。针对该问题，本课题结合高斯混合滤波算法，提出了欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波（GaussianSumIncrementalKF,GSIncrementalKF）算法。2.2问题描述用增量Kalman滤波算法表示的系统模型为xΦxΓw(2-1)kk1k1k1k1Δz=Hx-Hx+v(2-2)kkkk-1k-1kn其中，x是系统的状态向量，z表示系统的量测向量增量，zzz，kkkkk1nnmnnrΦ是系统的状态转移矩阵，H是系统的量测矩阵，Γ是系k1kk1rm统的噪声分布矩阵，w是系统的过程噪声向量，v是系统的量测噪声向k1k量。w和v均为非高斯分布。k1k如上述模型所示，当系统的过程噪声以及系统的量测噪声分布是非高斯时，不能直接使用增量卡尔曼滤波算法。因为如果使用单个高斯分布来近似过程噪声和量测噪声的分布，这样产生的后验概率分布与真实后验概率分布会产生较大的偏差，造成滤波的方差过大，可靠性降低，准确度也会下降。此外，在非线性系统的情况下，如果状态方程和量测方程产生的先验概率密度函数p(x|z)或后验概率密度kk1函数p(x|z)不能用单个高斯分布来近似时[34]，扩展增量Kalman滤波等非线性增kk量滤波算法的可靠性和精度也会变差。因此，有必要引入高斯和滤波算法，以提高滤波的精度和可靠性。2.3高斯和滤波GSF的基本理论是，任意分布的概率密度函数都能够用N个高斯项的累加进行近似Niiip()x(;xμ,Σ)(2-3)i18 欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法Nii其中，i表示第i个高斯分布项，0，表示该分布项的权重，且1，i1iiii(;xμ,Σ)表示状态x的分布满足高斯分布，μ表示该分布项的均值，Σ表示该分布项的协方差。随着N的增加，p()x逐渐收敛于系统全局的概率密度分布函数。高斯和项数N的选择会影响算法的时间复杂度和滤波精度。如果N选择的过多，将造成计算复杂度过高，在实际工程中应用起来非常不方便；如果N选择的过少，该算法产生的概率密度分布与实际系统的概率密度分布相差过大，从而导致较大的滤波误差。根据式（2-3），k时刻系统的一步预测概率分布函数和后验概率分布函数可分别表示为N1iiip(x|zkk-1)kk|1(xk;μkk|1,Σkk|1)(2-4)i1N2iiip(x|zkk)kk|(xk;μkk|,Σkk|)(2-5)i1式（2-4）中的N是预测步骤后得到的总的高斯和项数，式（2-5）中的N是更新步12骤后得到的总的高斯和项数，由于在更新步骤加入的量测噪声的高斯项数不一定等于1，所以N和N的值不一定相等。12假设k1时刻的后验概率密度为Kiiip(xk1|zk1)k1|k1(xk1;xˆk1|k1,Pk1|k1)(2-6)i1Kiii其中i表示第i个高斯分量，k1|k1是该高斯分量的权值，且k1|k11，xˆk1|k1是i1ik1时刻该高斯分量的均值，P是k1时刻该高斯分量的协方差。同样，采用k1|k1GSF的方式把过程噪声近似表示成Ljjjp(wk)wk,(wwPk;ˆk,wk,)(2-7)j1Ljjj其中，过程噪声wk是非高斯变量，wk,表示过程噪声的权重，且wk,1，wˆk表j1j示过程噪声的均值，P表示过程噪声的协方差。那么，经过一步预测后，系统状wk,态分布的概率函数可表示成KLij,ij,ij,p(x|zkk-1)kk|1(xxk;ˆkk|1,Pkk|1)(2-8)i1j1ij,其中，权值的计算如下kk|19 西安工程大学硕士学位论文ij,ij(2-9)kk|1k1|k1wk,ij,ij,xˆ是采用卡尔曼滤波过程中的一步预测获得的均值，P是采用同样方法所获得kk|1kk|1的协方差。系统的量测噪声分布也可用GSF的形式来近似Mlllp()vkvk,(;vvPkˆk,vk,)(2-10)l1则后验概率密度分布为KLMijl,,ijl,,ijl,,p(x|zkk)kk|(xxk;ˆkk|,Pkk|)(2-11)i1j1l1ijl,,ijl,,其中，xˆ是采用卡尔曼滤波过程中的量测更新步骤获得的均值，P是采用同样kk|kk|ijl,,的更新步骤获得的协方差。权值的计算如下kk|ij,lp(z|z)ijl,,kk|1vk,ijl,,kk-1(2-12)kk|KLMij,li1j1l1kk|1vk,pijl,,(z|zkk-1)其中，p(z|z)表示在已知量测向量z的情况下，k时刻的量测向量z的第ijl,,kk-1k-1k(,,)ijl项的概率密度分布函数，可采用GSF的形式近似为ijl,,ijl,,p(z|z)(;zzˆ,P)(2-13)ijl,,kk-1kkk|1zz2.4高斯和增量卡尔曼滤波通常在实际工程应用中，量测向量z可能会存在量测系统误差，导致状态估计k的结果与真实状态有一定的偏移。而在式（2-2）中，增量量测方程Δzkzkzk1已消除量测误差，因此，增量方程的系统误差相对很小，可以忽略不计。所以增量Kalman滤波的状态估计值能与真实的状态值较好地吻合，提高滤波精度。首先根据式（2-3）将系统初始状态、系统状态噪声以及系统量测噪声的分布用GSF的方式来近似，即Kiiip(x0)0(xxP0;0,0)(2-14)i1Ljjjp(wk)wk,(wwPk;k,wk,)(2-15)j1Mlllp()vkvk,(;,vvPkkvk,)(2-16)l110 欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法然后在每一时刻k，按照增量卡尔曼滤波的思想对每个高斯项进行滤波。若已知k1时刻得到的状态估计用高斯和的形式表示为Kiiip(xk1)k1|k1(xk1;xk1|k1,pk1|k1)，则k时刻每个高斯项的状态预测方程为i1iixˆΦx(2-17)kk|1k1k1|k1对应的协方差预测方程为ij,ijPΦPΦΓQΓ(2-18)kk|1k1k1|k1k1k1k1k1高斯项权值为ij,ij(2-19)kk|1k1|k1wk,在k时刻，依据Δzkzkzk1计算得到Δzk。则由增量Kalman滤波算法易知各高斯项的状态估计方程为ijl,,ijl,,ijl,,xˆxˆK(zΔzˆ)(2-20)kk|kk|1kkk|kk|1对应的协方差估计方程ijl,,ijl,,PPKΩK(2-21)kk|kk|1kkk其中ijl,,ijl,,ijl,,ΔzˆHxˆHxˆ(2-22)kk|1kkk|1k1k1|k1ijl,,lijl,,ΩHPHRHPΦHkkkk|1kkk1k1|k1k1kijl,,ijl,,(2-23)HΦPHHPHkk1k1|k1k1k1k1|k1k1ijl,,ijl,,1K(PHΦPH)(Ω)(2-24)kkk|1kk1k1|k1k1k每个高斯项的权重计算如下ij,lijl,,(z;Δzˆ,Ω)ijl,,kk|1vk,kkk|1kkk|KLMij,l(;ˆijl,,,)(2-25)i1j1l1kk|1vk,zkΔzkk|1Ωk此时，后验概率密度函数为(|)KLMijl,,(;ˆijl,,,ijl,,)pxkzki1j1l1kk|xxkkk|Pkk|(2-26)第k步的状态估计值是KLMijl,,ijl,,xki1j1l1kk|xˆkk|(2-27)第k步的协方差是KLMijl,,ijl,,Pki1j1l1kk|Pkk|(2-28)由上述过程易知，该算法开始有K个高斯项，第一步估计结束后项数增加到kkKLM个，第k步估计结束后，高斯项增加到KLM个。由此可见，跟随时间的推移，高斯和的项数一直增加，这样便会导致计算量不停的增加，限制了该算法的实11 西安工程大学硕士学位论文用性。针对该问题，通常的解决办法是对高斯项做修剪与合并的处理，以降低高斯项的个数。修剪与合并过程叙述如下。kk设最大高斯和项数为G，在每一时刻k获得KLM个高斯分布的状态估计值后，只保留其中G个权值较大的高斯分布，然后计算这G个高斯分布的后验概率密度函数p(xk|zk)。其中G的选取可参照文献[31]。对于权值特别小的高斯项不能直接丢弃，而是将其与邻近的高斯项合并。为了判断两个高斯项是否邻近，可采用马氏(Mahalonobi)距离计算两个高斯项之间的距mmm离，即若第m个高斯项的权值是、均值是μ、方差是Σ，第n个高斯项的权值nnn是、均值是μ、方差是为Σ，则这两个高斯项之间的Mahalonobi距离的平方为mn2mnmn1mndmn(,)(μμ)(ΣΣ)(μμ)(2-29)mn设最小权值阈值为th，两个高斯项之间的最大距离阈值为TH。当某个高斯项的权值mth时，按照式（2-29）找出与该高斯项的距离小于TH且权值nth的高斯项，然后将这两个高斯项合并。合并后的高斯项的权值是m'mn(2-30)均值是m'mmnnmnμ(μμ)/()(2-31)协方差是m'mmnnmnΣ(ΣΣ)/()(2-32)当某个高斯项的权值mth，且按照式（2-29）未能找出与该高斯项的距离小于TH且权值nth的高斯项，出现这种情况时再将此高斯项丢弃。对于非高斯分布的线性系统，上述算法能够有效的进行滤波，对于非高斯分布的非线性系统，可以利用EKF算法的思路进行扩充。限于篇幅，这里不再赘述。2.5仿真实验及结果分析为了对高斯和增量Kalman滤波算法的可行性进行验证，本文通过两个实验做仿真比较，例1采用线性体统，例2采用非线性系统。例1：线性系统设线性系统的空间模型表示为x0.9xw(2-33)kk-1k1zxav(2-34)kkkk12 欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法其中，k表示时刻，x是状态向量，z是量测值，w是系统的过程噪声，v是系kkk1k统的量测噪声，a表示量测系统误差，是未知量，这里假设a3。系统初始状kk态、系统过程噪声以及系统量测噪声分别用两个高斯项的叠加来表示，即px()(x,P)(x,P)01010120202pw()(m,Q)(m,Q)(2-35)k1Q112Q22pv()(m,R)(m,R)k1R112R22用标准Kalma滤波和增量Kalman滤波进行仿真时，假设系统初始状态，系统过程噪声以及系统量测噪声为px()(xx,PP)0101202101202pw()(mm,QQ)(2-36)k1Q12Q21122pv()(mm,RR)k1R12R21122式（2-35）和式（2-36）中各参数的值分别为：10.5，20.5，x0110，x0210，P010.05，P020.15，10.9，20.1，mQ10，mQ20，Q0.02，Q0.82，0.5，0.5，m0，m0，R0.1，R1.9。1212R1R212分别采用标准Kalman滤波（standardKF）、增量Kalman滤波（IncrementalKF），以及高斯和增量Kalman滤波（GSIncrementalKF）三种方法实现状态估计。仿真步数为100。图1和图2分别是以上算法经过1次MonteCarlo仿真实验得到的状态估计结果和方差结果。表1是以上算法经过20次MonteCarlo仿真得到的均方根误差、平均方差以及平均时间。从图1可以看出，IncrementalKF和GSIncrementalKF的结果基本接近，而且这两种算法的滤波结果与真实状态基本吻合，其具体差别可参考表1；standardKF由于未能消除系统误差，和真值有较大偏差，滤波精度低。从图2和表1能够体现出，GSIncrementalKF的方差最小，平均方差P0.0988，准确度及可靠性高；standardKF次之，平均方差P0.2141，可靠性略低；IncrementalKF的方差最大，平均方差P0.4955，可靠性最低。从表1可以看出，与standardKF和IncrementalKF相比，GSIncrementalKF的时间复杂度较高。综上所述，虽然高斯和增量卡尔曼滤波算法的计算时间略长，但该算法的状态估计结果不仅能与真实状态较好地吻合，而且其方差明显低于standardKF和IncrementalKF的方差，有效地提高了滤波的准确度和可靠性。因此当系统分布是非高斯情况下，GSIncrementalKF算法更可靠。13 西安工程大学硕士学位论文10realstandardKF8IncrementalKFGSIncrementalKF64statevalue20-20102030405060708090100timestep图1各个算法的状态估计0.7standardKFIncrementalKF0.6GSIncrementalKF0.50.4variance0.30.20.100102030405060708090100timestep图2各个算法的方差表1各个算法的时间、状态估计方差及均方根误差StandardKFIncrementalKFGSIncrementalKF均方根误差2.14330.33620.3404状态估计方差0.21410.49550.0988时间(s)0.01080.01423.5696例2：非线性系统设非线性系统的空间模型表示如下14 欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法x0.9xw(2-37)kk1k1zx0.001ln(x1)av(2-38)kkkkk其中，k表示时刻，xk是状态向量，wk1是系统的过程噪声，zk是量测值，vk是系统的量测噪声，ak表示量测系统误差，是未知量，这里假设ak3。如式（2-35）所示，系统的初始状态、系统过程噪声以及系统量测噪声分别用两个高斯项的叠加来表示。用标准扩展卡尔曼滤波和扩展增量卡尔曼滤波进行仿真时，系统的初始状态、过程噪声和量测噪声设定方法如式（2-36）所示。各参数的值分别为：10.5，20.5，x0110，x0210，P010.05，P020.15，10.9，20.1，mQ10，mQ20，Q10.02，Q20.82，10.5，20.5，m0，m0，R0.1，R1.9。分别采用标准扩展Kalman滤波（standardR1R212EKF），扩展增量Kalman滤波（IncrementalEKF），高斯和扩展增量Kalman滤波（GSIncrementalEKF）三种方法进行估计。仿真步数为100。图3和图4分别是以上算法经过1次MonteCarlo仿真得到的状态估计结果和方差结果。表2是以上算法经过20次MonteCarlo仿真得到的均方根误差，平均方差以及平均时间。从图3可以看出，IncrementalEKF和GSIncrementalEKF的结果基本接近，而且这两种算法的滤波结果与真实状态基本吻合，从表2可以进一步看出GSIncrementalEKF算法的均方根误差略小于IncrementalEKF算法的均方根误差；标准扩展卡尔曼滤波由于未能消除系统误差，和真值有较大偏差，滤波精度低。从图4和表2可以看出，高斯和扩展增量卡尔曼滤波的方差最小，平均方差P0.0988，准确度和可靠性最高；standardEKF次之，平均方差P0.2140，可靠性略低；IncrementalEKF的方差最大，平均方差P0.4955，可靠性最低。因为本文中两个算例的初始状态和各参数取值相同，所以方差的估计值也基本一致。从表2可以看出，与standardEKF和IncrementalEKF相比，GSIncrementalEKF的时间复杂度较高。综上所述，高斯和扩展增量卡尔曼滤波虽然计算时间略长，但该算法的状态估计结果不仅能与真实状态较好地吻合，而且其方差明显低于standardEKF算法和IncrementalEKF算法的方差，在一定程度上增强了滤波的的可靠性，保证了滤波的准确度。因此当系统分布是非线性同时它的后验概率密度不能用单个高斯分布来近似时，GSIncrementalEKF算法更可靠。15 西安工程大学硕士学位论文10realIncrementalEKF8standardEKFGSIncrementalEKF64statevalue20-20102030405060708090100timestep图3各个算法的状态估计0.7IncrementalEKFstandardEKF0.6GSIncrementalEKF0.50.4variance0.30.20.100102030405060708090100timestep图4各个算法的方差表2三种算法的均方根误差、状态估计方差和时间standardEKFIncrementalEKFGSIncrementalEKF均方根误差2.22350.31970.3173状态估计方差0.21400.49550.0988时间(s)0.04620.02785.98512.6本章小结本文将增量Kalman滤波的思想融入到GSF算法中，推导出高斯和增量Kalman滤波算法。在非高斯噪声条件下，增量卡尔曼滤波算法虽然能够消除量测系统误16 欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法差，但是可靠性低。然而高斯和增量Kalman滤波算法不仅能够消除量测系统误差，保证滤波精度和准确度，同时有效提高了滤波的可靠性。本文仅考虑了系统是线性和弱非线性时服从非高斯分布的情况，对于系统的非线性较强时，也可以结合高斯和算法与相应的非线性滤波算法进行类似扩充，并结合实际应用通过仿真实验来验证它的可行性，这一方面的工作还需做进一步研究。17 西安工程大学硕士学位论文18 基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法3基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法3.1引言在通信、导航、目标跟踪等工程领域中应用滤波估计时，通常要求系统的过程噪声以及系统的量测噪声都满足高斯分布。例如在系统是线性分布的情况下，通常采用卡尔曼滤波（KalmanFilter,KF）算法进行状态估计，通过该算法能够得到最优估计[1]；当系统为非线性系统时，可以通过扩展Kalman滤波(ExtendedKalmanFilter,EKF)算法进行状态估计[2,34]，该算法是将系统的状态方程按照一阶Taylor级数展开，从而将非线性滤波近似成线性滤波[35,36]；但是仅仅在系统状态方程以及系统量测方程的非线性较弱的情况下，扩展Kalman滤波的滤波精度才会较高，才会取得较好的滤波效果，为此大家开始了进一步的探索和研究，推导出了迭代扩展卡尔曼滤波（IteratedExtendedKalmanFilter,IEKF），当系统的非线性程度较强时，该算法能够有效地进行状态估计[37,38]；然而IEKF需要对量测方程的非线性函数求导，即求解Jacobian矩阵，那么当量测方程的非线性函数比较复杂，求解Jacobian矩阵比较困难时，IEKF应用起来很不方便，针对这一问题，学者们提出了一种去导迭代扩展卡尔曼滤波[39,40]，该算法不但能够提高滤波精度，而且使用起来更方便。以上提到的算法都是假设系统的过程噪声和量测噪声为高斯分布，然而实际情况中经常会遇到噪声为非高斯分布的情况，针对该问题，可以采用高斯和滤波来处理。文献[29]全面的叙述了高斯和滤波思想及其相应的推导过程。文献[19]在EKF的基础上，推导出了相应的高斯和滤波算法，该算法能够处理非线性非高斯分布系统的滤波问题，跟高斯分布的情况一样，该算法只有在系统的非线性较弱时才能取得较好的滤波效果。当系统为强非线性非高斯分布的情况下，该算法的误差较大，针对该问题，本文结合高斯和滤波算法和去导迭代扩展卡尔曼滤波算法，推导出基于弦线去导的高斯和迭代扩展Kalman滤波算法。该算法既能对强非线性非高斯分布系统进行有效地目标跟踪，同时避免了非线性函数比较复杂，不易求解Jacobian矩阵的困扰。3.2问题描述一般非线性分布的离散系统可用如下方程式来模拟xfx()w（3-1）kkk1k1zhx()v（3-2）kkkk19 西安工程大学硕士学位论文其中，k表示时刻，x表示系统在k时刻的状态向量，z表示系统在k时刻的量测kk向量，w和v分别表示系统的过程噪声和量测噪声，且满足非高斯分布，f和hk1kkk表示非线性函数。如上述方程所示，当系统的非线性较弱且满足非高斯分布的情况下，可以使用高斯和扩展卡尔曼滤波算法解决滤波估计问题；当系统的非线性较强而且同样满足非高斯分布的情况下，可以使用高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法解决滤波估计问题。但是高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法需要求Jacobian矩阵（即非线性函数的导数），那么当强非线性非高斯分布系统的量测方程比较复杂，求解Jacobian矩阵比较困难时，直接使用高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法的话很不方便，针对该问题，本文提出了基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法(GaussianSumDerivativeFreeIteratedExtendedKalmanFilter，GS-DF-IEKF)。3.3基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法GS-DF-IEKF算法是用求解两点间的割线斜率来代替迭代扩展卡尔曼滤波算法中求解Jacobian矩阵的过程，与此同时结合高斯和滤波思想来处理系统分布是非高斯的情况。高斯和滤波的基本原理是用多个高斯分布的叠加来表示非高斯分布，可采用如下方程式来表示Niiip()x(;xμ,Σ)（3-3）i1iii其中，i表示第i个高斯分布项，μ表示相应的均值，Σ表示相应的协方差，表Nii示相应的权值，且满足0，1。当系统的初始状态、系统的过程噪声以及i1系统的量测噪声都是非高斯分布的时候，根据式（3-3）可分别表示为Kiiip(x0)0(xxP0;0,0)（3-4）i1Ljjjp(wk)wk,(wwPk;k,wk,)（3-5）j1Mlllp()vkvk,(;,vvPkkvk,)（3-6）l1iii若已知在k时刻，x和x分别分布在非线性函数hx()0的解的两侧，那kn,kn,1kiiii么过点(x,(hx))和(x,(hx))的直线的弦线方程为kn,kn,kn,1kn,120 基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法iiiixxxxikn,kn,1ikn,kn,1Lx()h()Hx()（3-7）kk22i当状态向量x是一维时，根据上式能够得出kiihx()hx()kn,kn,1H（3-8）iixxkn,kn,1i当状态向量x是多维时，根据文献[32]中的Broden法求解H得kiiiixxxxkn,kn,1kn,kn,1iHh()/(x)（3-9）kn,122用上述割线法得到的H来代替扩展Kalman滤波算法中的Jacobian矩阵，能够得到基于弦线去导的高斯和迭代扩展Kalman滤波算法算法，它的迭代公式为iiiixxxxiikn,kn,1ikn,kn,1xxˆKz(ˆh())KHx(ˆ)（3-10）kn,1kkkkk22ii其中，x表示k时刻第n1次迭代的状态向量，xˆ表示k时刻的预测值，K为增kn,1kk益矩阵。由式（3-10）可以看出，每一次迭代过程中都要求前两次的迭代值是已知的，但是在最初迭代时只知道前一次的迭代值，此时可根据文献[42]构造出最开始迭代的值xixˆiPˆPˆPˆ（3-11）k,1kk,11k,22knn,iixxˆ（3-12）k,2k式（3-11）中的是衰减因子且01，的具体取值要根据系统的过程噪声强度和量测噪声强度以及量测方程的非线性强度来决定。PˆPˆPˆ是k,11k,22knn,得到k时刻协方差的预测值后，取其对角线上的各个元素所组成的值。ii综上所述，若已知k1时刻第i个高斯分布项的状态值为x，协方差为P，k1k1可得k时刻第i个高斯分布项的状态预测方程为ij,ij,xˆfx()（3-13）kk1协方差预测方程为Pˆij,QjFPij,ij,(Fij,)（3-14）kkkk1kij,fkij,其中，F|xxkk1x预测步骤高斯项的权重为ij,ij（3-15）kk1wk,k时刻，经过n1次迭代后，第i个高斯分布项的状态估计方程为21 西安工程大学硕士学位论文ijl,,ijl,,ijl,,ijl,,xxxxijl,,ij,ij,kn,kn,1ij,kn,kn,1xxˆKz(ˆh())KHx(ˆ)（3-16）kn,1kkkkk22协方差估计方程为Pijl,,Pˆij,KHPˆij,（3-17）kn,1kn,kkn,其中，H如式（3-8）所示，Pˆij,Pˆij,Pˆij,（3-18）k,1k,2kij,ij,zˆhx(ˆ)（3-19）kkK(H(Rl)1H(Pˆij,))11H(Rl)1（3-20）kkn,更新步骤高斯项的权重为ijlij,ijl,,(;zzˆ,P)ijl,,k1wk,vk,kkZZ（3-21）kKLMijlij,ijl,,i1j1l1k1wk,vk,(;zzkˆk,PZZ)其中Pijl,,HPˆij,()HRl（3-22）ZZkk根据上述过程得出，k时刻系统的状态值为KLMijl,,ijl,,xki1j1l1kxkn,1（3-23）k时刻系统的协方差为KLMijl,,ijl,,Pki1j1l1kPkn,1（3-24）从上述过程可以看出，随着时间k的不断增加，高斯项的数量也在成指数增加，因此计算量也在不断增加，这会使算法的实用性受到影响。为了降低计算量，提高算法的实用性，同时还能保证算法的滤波精度，可以采用文献[28]和[31]中提到的限制最大高斯项数量的方法。设高斯项的最大数量为G，在每一时刻获得所有的高斯项后，只保留其中G个权值较大的高斯项，然后根据上述步骤求解其状态估计值和协方差。3.4仿真实验及结果分析下面采用单变量非平稳增长模型(UnivariateNonstationaryGrowthModel,UNGM)，来比较高斯和扩展Kalman滤波(GaussianSumExtendedKalmanFilter,GS-EKF)算法、高斯和迭代扩展Kalman滤波(GaussianSumIteratedExtendedKalmanFilter,GS-IEKF)算法、基于弦线去导的高斯和迭代扩展Kalman滤波（GS-DF-IEKF）算法算法的性能，从仿真实验能够体现出本文提出的新算法的精度较高。UNGM的状态方程和量测方程如下22 基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法xk1xk0.5xk12528cos1.2(k1)wk1（3-25）1xk12xkzv（3-26）kk20其中，k为仿真步数，x和z分别表示系统的状态向量和量测向量，w和vkkk1k分别表示系统的过程噪声和系统的量测噪声。本例中用两个高斯分布的叠加来表示系统的初始状态、系统的过程噪声和系统的量测噪声px()(x,P)(x,P)01010120202pw()(m,Q)(m,Q)（3-27）k1Q112Q22pv()(m,R)(m,R)k1R112R22式（3-27）中，0.5，xx0，PP1，0.2，0.8，120102010212mm0，Q3，Q0.5，0.2，0.8，mm0，R3，Q1Q21212R1R21R0.5。2仿真实验中的仿真步数取50，MonteCarlo次数也取50次，迭代次数取7，衰减因子取值1。图1给出了每一次MonteCarlo仿真在时间域上的均方根误差（T-MSE），图2给出了在每个时刻处的MonteCarlo集总域上的均方根误差（S-MSE），分别定义为K1mm2TMSEm()(xkxˆk)（3-28）Kk1M1mm2SMSEk()(xkxˆk)（3-29）Mm1式（3-28）中，K表示总的仿真步数，式（3-29）中，M表示总的MontoCarlo次数。表1给出了各个算法的平均时间以及各个算法的均方根误差（MSE），定义为MK11MSETMSEm()SMSEk()（3-30）Mm1Kk123 西安工程大学硕士学位论文600GS-EKFGS-IEKF500GS-DF-IEKF400300T-MSE200100005101520253035404550MonteCarlo图1各个算法在时间域上的均方根误差2500GS-EKFGS-IEKFGS-DF-IEKF20001500S-MSE1000500005101520253035404550timestep图2各个算法在MonteCarlo集总域上的均方根误差表1各个算法的平均时间和均方根误差GS-EKFGS-IEKFGS-DF-IEKF均方根误差157.8555103.8606101.3465时间(s)2.04476.95784.7745从图1和图2中可以看出，高斯和扩展Kalman滤波算法（GS-EKF）算法的均方根误差最大，高斯和迭代扩展Kalman滤波算法(GS-IEKF)算法的误差明显降低，而GS-DF-IEKF算法比GS-IEKF的误差更小。从表1中的具体数据能够进一步体现出，GS-EKF算法所用时间最少，但是误差较大；GS-DF-IEKF与GS-IEKF相比，24 基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法误差相对小一些，所用时间也相对较少。综上所述，当系统为强非线性系统，且系统的过程噪声以及系统的量测噪声为非高斯分布时，本文算法的滤波精度较高，时间复杂度适中，具有可行性。3.5本章小结针对量测方程比较复杂，求解Jacobian矩阵比较困难的强非线性非高斯分布系统，本文提出了基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法。该算法不用求解Jacobian矩阵，而是采用两点间的割线斜率来代替Jacobian矩阵，同时结合高斯和滤波的思想来处理非高斯分布的情况，即用多个高斯分布的累加和来近似非高斯分布。仿真实验的结果表明，本文算法的滤波精度较高，时间复杂度适中，具有一定的可行性，扩展了高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法的应用范围。本文只给出了系统状态向量是一维情况下的推导过程和仿真实验，当系统状态向量为多维时，可用多维割线法，即式（3-9）进行类似的推导。25 西安工程大学硕士学位论文26 有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法4有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法4.1引言Kalman滤波算法已经在金融、制导系统、航空航天等工程实践中得到了广泛和充分的应用。标准的Kalman滤波要求系统过程噪声以及系统量测噪声的均值都是零，而且是满足高斯分布的白噪声序列。然而白噪声只是一种理想状态，只有在噪声的相关性比较弱，可以忽略不计的条件下，才可以将其近似地表示成白噪声。金融、制导系统、航空航天等工程实践中，遇到的噪声往往是相关联的（即噪声是有色的噪声），或者是非高斯分布。此时，已经不适合用标准的Kalman滤波算法进行状态估计。针对噪声为非高斯分布的情况，Sorensor等人提出了利用高斯和理论进行递推贝叶斯估计的算法[28]，该算法只能处理线性系统的状态估计问题。文献[19]将高斯和滤波理论和扩展卡尔曼滤波算法进行结合，提出了相应的非线性条件下的贝叶斯估计方法。然而EKF算法只有在系统的非线性程度较弱时适用，当系统的非线性程度较强时，这种方法的跟踪效果较差。针对该问题，文献[31]推导出高斯和粒子滤波算法，该算法能够有效提高滤波精度，然而时间复杂度较高。文献[32]提出了高斯和容积卡尔曼滤波算法，这种方法不但滤波精度高，而且时间复杂度增加不大。以往的算法中，高斯和权值的计算都是从一个时刻传播到下一时刻，文献[42]提出一种自适应高斯和滤波算法，与以往算法的不同之处在于，高斯和的权值在每一时刻进行更新。这种算法能够提供一个更准确的概率密度分布函数，以便更准确的进行滤波。文献[29]在介绍非线性滤波算法的同时，也介绍了高斯和滤波算法的研究情况。针对系统的过程噪声是有色噪声的情况，文献[43]利用状态扩维的方法将有色的过程噪声转化成白噪声的形式，实现对目标的状态估计，并通过仿真实验证明该算法的可行性。当系统的量测噪声为有色噪声时，文献[44,45]提出一种基于高斯马尔科夫过程的相关观测噪声函数模型估计方法，将其分别运用到GPS高频动态变形监测和桥梁自振频率提取模型的研究中。与标准卡尔曼滤波的处理方法相比，该算法在GPS高频动态变形监测中有更好的滤波效果，在桥梁自振频率提取模型中能够得到更真实的桥梁振动频率。文献[46-48]对过程噪声是有色噪声或者量测噪声是有色噪声的处理方法做出介绍，总结出相应的滤波算法。此外，文献[47]证明当系统状态噪声和系统量测噪声的关联性非常小，几乎接近于零时，有色噪声作用下的Kalman滤波即为标准Kalman滤波，也就是说标准Kalman滤波是有色噪声作用下27 西安工程大学硕士学位论文Kalman滤波的一种特例。文献[48]针对系统分布是非线性时，提出了量测噪声是有色噪声条件下的滤波算法。有时在动态数据的实际处理中会发现，一些有色噪声很难转换成白噪声的形式（即白噪声驱动下的有色噪声），文献[49]研究出了有色噪声作用下的抗差Kalman滤波方程。文献[50]研究了系统过程噪声以及系统量测噪声同时是有色噪声时的Kalman滤波方法，取得了较好的滤波效果。上述算法讨论了系统过程噪声以及系统量测噪声的分布是非高斯分布时的估计方法，也讨论了系统过程噪声以及系统量测噪声是有色噪声时的估计方法。本文在此基础上进行研究，提出了有色噪声条件下的高斯和Kalman滤波算法，该算法用于处理过程噪声以及量测噪声同时为有色噪声且同时满足非高斯分布的滤波问题。4.2问题描述卡尔曼滤波的系统模型为XΦXΓW(4-1)kkk,1k1kk,1k1ZHXV(4-2)kkkk其中，X是表示系统的状态向量，Φ为系统状态的转移矩阵，Γ是系统kkk,1kk,1的过程噪声分布矩阵，W为过程噪声，Z是系统的量测向量，H是量测矩阵，k1kkV是量测噪声。系统过程噪声W以及系统量测噪声V是有色的，满足非高斯分kkk布，而且满足方程WWξ(4-3)kkk,1k1k1VVζ(4-4)kkk.1k1k1其中，ξ和ζ是白噪声，服从非高斯分布，ζ与W无关联关系。k1k1k1k4.3有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波当噪声为非高斯分布或者系统模型的后验概率密度函数不能用单个高斯分布来近似时，可以使用高斯和滤波算法进行近似处理。高斯和滤波算法的思想是，任意的概率密度函数p()X都可以使用N个高斯分布项的叠加进行近似，即采用如下高斯和的形式表示Niiip()X(;Xμ,Σ)(4-5)i1i其中，i表示第i个高斯项，是该高斯项概率分布函数的权值，且满足Niiiii1。(;Xμ,Σ)表示第i个高斯项的状态值是X，均值是μ，协方差是Σ。i128 有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法因此根据式（4-5），将（4-3）和（4-4）两个公式中的ξ和ζ分别采用如下高kk斯和的形式近似表示Ljjjp()ξkξ,k(;ξkμξk,Qk)(4-6)j1Mlllp(ζk)ζ,k(;ζkμζk,Rk)(4-7)l1则式（4-3）和式（4-4）可进一步表示为jjjWWξ(4-8)kkk,1k1k1lllVVζ(4-9)kkk.1k1k1系统初始状态的分布函数用高斯叠加和的形式表示为Kiiip(X0)0(X0;μX0,P0)(4-10)i1如式（4-1）-式（4-4）所示，系统的过程噪声以及系统的量测噪声都是非高斯分布，而且都是有色噪声。首先要将有色噪声白化，即将噪声的形式转化为非高斯分布的白噪声序列，在此基础上结合高斯和滤波理论进行卡尔曼滤波。j首先要将色过程噪声W白色化，本文使用的是状态扩维法。状态扩维法就是kj将过程噪声W扩充到系统的状态中，经过扩充后的状态值为kiXaij(,)kXkj(4-11)Wk采用式（4-11）来表示状态向量，那么系统的状态方程以及系统的量测方程可以重新描述如下XiΦΓXikkk,1kk,1k10jjjξk1(4-12)Wk0kk,1Wk1IiXijl,,klZkHk0jVk(4-13)Wk式（4-12）和式（4-13）可以简写为如下形式aij(,)aa(,)ijaa()jXΦXΓW(4-14)kkk,1k1kk,1k1ijl,,aaij(,)lZHXV(4-15)kkkkaj()jaj()l其中，Wξ，即W是白噪声序列，而V仍然是有色噪声。因此在式kkkkl（4-14）和式（4-15）基础上再对量测噪声V做白色化处理。kl要将有色量测噪声V白色化，这里使用的是量测扩维法。由式（4-15）可得klijl,,aaij(,)VZHX(4-16)kkkk29 西安工程大学硕士学位论文根据式（4-9）、式（4-15）和式（4-16）可得ijl,,aa(,)ijlZHXVk1k1k1k1aaaij(,)aaj()llH[ΦXΓW]Vζk1k1,kkk1,kkk1,kkk(4-17)aaaaij(,)ijl,,[HΦH]XZk1k1,kk1,kkkk1,kkaaaj()lHΓWζk1k1,kkk即ijl,,ijl,,aaaaij(,)ZZ[HΦH]Xk1k1,kkk1k1,kk1,kkk(4-18)aaai()lHΓWζk1k1,kkk令*(,,)ijlijl,,ijl,,ZZZ(4-19)kk1k1,kk*aaaHHΦH(4-20)kk1k1,kk1,kk*(,)jlaaaj()lVHΓWζ(4-21)kk1k1,kkk可以得到量测方程*(,,)ijl*aij(,)*(,)jlZHXV(4-22)kkkk*(,)jl其中，Vk的均值和协方差如下*(,)jlaaaj()l[V][HΓWζ]kk1k1,kkkaaaj()l(4-23)HΓ[W][ζ]k1k1,kkk*(,)jl*(,)jlaaaj()laaaj()l[VV][(HΓWζ)(HΓWζ)]ktk1k1,kkkk1k1,kkkaajaal(4-24)(HΓQ(Γ)(H)R)k1k1,kkk1,kk1kkj*(,)jl通过式（4-23）及式（4-24）能够看出，Vk是白噪声序列，其方差如下*(,)jlaajaalRHΓQ(Γ)(H)R(4-25)kk1k1,kkk1,kk1kaj()*(,)jlaj()aaaj()l[WV][W(HΓWζ)]ktkk1k1,kkk(4-26)jaaQ(Γ)(H)kk1,kk1kj*(,)jlaj()由式（4-26）可知，Vk与Wk相关，并且满足jjaaSQ(Γ)(H)(4-27)kkk1,kk1aj()*(,)jl至此，W及V都已经是白噪声序列，能够按照高斯和Kalman滤波方程进kk行状态估计。式（4-14）及式（4-22）就是扩维后的系统状态方程以及系统量测方程。30 有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法Xˆaijl(,,)及其协方差根据卡尔曼滤波的预测和更新步骤，若已知k时刻状态kPijl,,，将其代入k1时刻的预测方程中，可得k1时刻的状态预测方程Xˆa(,,)ijl和kk1|kijl,,协方差预测方程Pk1|k如下Xˆa(,,)ijlΦaXˆa(,,)ijlk1|kk1,kkk|1K*(,,)ijl(Z*(,,)ijlHX*ˆa(,,)ijl)(4-28)kkkkk|1ijl,,aijl,,aajaPΦP(Φ)ΓQ(Γ)k1|kk1,kkk|1k1,kkkk*(,,)ijl*ijl,,aja(4-29)K(HP(Φ)(S)(Γ))kkkk|1k1,kkk其中*(,,)ijlaijl,,*ajK(ΦP(H)ΓS)kk1,kkk|1kkk*ijl,,**(,)jl1(4-30)(HP(H)R)kkk|1kk因为Xˆa(,,)ijl[Xa(,,)ijl/ZZ**Z*]k1|kk112k(4-31)[Xa(,,)ijl/ZZ**ZZ**]Xˆa(,,)ijlk112kk1k1所以ijl,,ijl,,PP(4-32)k1|kk1*(,,)ijlijl,,KK(4-33)kk1由式（4-31）-式（4-33）可知，预测方程式（4-28）-式（4-30）实际上就是滤波方程，因此k1时刻的状态估计方程为Xˆa(,,)ijlΦaXˆaijl(,,)Kijl,,(Z*(,,)ijlHX*ˆaijl(,,))(4-34)k1k1,kkk1kkk协方差估计方程为ijl,,aijl,,aajaPΦP(Φ)ΓQ(Γ)k1k1,kkk1,kkkkijl,,*ijl,,aja(4-35)K(HP(Φ)(S)(Γ))k1kkk1,kkk增益矩阵为ijl,,aijl,,*ajK(ΦP(H)ΓS)k1k1,kkkkk*ijl,,**(,)jl1(4-36)(HP(H)R)kkkk每个高斯项的权值为ijl*(,,)ijlijl,,(Z;Z,P)ijl,,kξ,k1ζ,k1k1k1ZZ(4-37)k1KLMijl*(,,)ijlijl,,i1j1l1kξ,k1ζ,k1(Zk1;Zk1,PZZ)其中ijl,,*ijl,,**(,)jlPHP(H)R(4-38)ZZk1k1k1k131 西安工程大学硕士学位论文则k1时刻的状态估计值为KLMijl,,ˆa(,,)ijlXk1i1j1l1k1Xk1(4-39)k1时刻的协方差估计值为KLMijl,,ijl,,Pk1i1j1l1k1Pk1(4-40)aij(,)若已知系统的初始状态X0~(mX0aij(,),CX0aij(,))，则滤波的初始状态值可表示成Xˆaijl(,,)[Xaijl(,,)/Zijl,,]000amX0aijl(,,)CX0aijl(,,)(H0)(4-41)aajl,1ijl,,a(H0CX0aijl(,,)(H0)R0)(Z0H0mZ0ijl,,)ijl,,aP0CX0aijl(,,)CX0aijl(,,)(H0)aajl,1a(H0CX0aijl(,,)(H0)R0)H0CX0aijl(,,)(4-42)1ajl,1a1((CXaijl(,,))(H0)(R0)H0)0高斯和滤波算法能够处理非高斯噪声的滤波问题，然而随着时间的不断推移，高斯项的数目会不断增加。若初始状态有K个高斯项，经过第一步滤波之后有kkKLM个高斯项，第k步滤波之后有KLM个高斯项。高斯项数目呈指数增加，这就意味着计算量不断增加，使其应用受到限制。因此需要通过修剪与合并来降低高斯项的数目。根据具体情况设置最大高斯项数目G、最小权值阈值以及两个高斯项之间的th最大距离阈值D。每一步滤波结束之后判断高斯项数目，如果高斯项数目大于G，则保留其中权值较大的G个高斯项；否则在剩余的高斯项中，将权值小于th的高斯项与邻近的权值大于的高斯项进行合并。th采用马氏距离，即式（4-43）计算两个高斯项之间的距离，进而判断两个高斯项是否邻近。mn2mnmn1mndmn(,)(μμ)(ΣΣ)(μμ)(4-43)mnmmm其中，m表示第m个高斯项，表示相应的权重，μ表示相应的均值，Σ表示相nnn应的协方差；n表示第n个高斯项，表示相应的权重，μ表示相应的均值，Σ表示相应的协方差。当两个高斯项的距离小于D时，说明两个高斯项邻近，将这两个高斯项合并，合并后的高斯项的权值、均值和协方差的计算公式如下m'mn(4-44)m'mmnnmnμ(μμ)/()(4-45)32 有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法m'mmnnmnΣ(ΣΣ)/()(4-46)如果权值小于th的高斯项未找到与其邻近且权值大于th的高斯项，则将其丢弃。可以证明，当式（4-3）中的kk,10时，上述滤波过程即为量测噪声是有色噪声作用下的高斯和Kalman滤波算法；当式（4-4）中的kk.10，上述滤波过程即为过程噪声是有色噪声作用下的高斯和Kalman滤波算法；当kk,10且kk.10时，本文算法即为噪声是白噪声时的高斯和Kalman滤波算法。4.4仿真实验及结果分析仿真实验中，将有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法与采用白噪声处理的高斯和卡尔曼滤波算法进行对比，从滤波效果可以看出本文算法的可行性。设一维线性系统的模型为X0.9XW(4-47)kk-1k1zXV(4-48)kkk其中，过程噪声W以及量测噪声V都是有色的噪声，同时分别符合如下方程k1k式WW(4-49)kkk,1k1k1VV(4-50)kkk.1k1k1其中，1，0.5，以及满足非高斯分布，而且是白色噪kk,1kk.1k1k1声。采用白噪声处理的高斯和卡尔曼滤波算法时，系统的过程噪声W，系统kk1的量测噪声V，以及同样是满足非高斯分布的白噪声。这里假设系统kk1k1k1的初始状态、系统的过程噪声以及系统的量测噪声分别为两个高斯分布的叠加pX()(X,P)(X,P)01010120202p()(m,Q)(m,Q)k1Q112Q22(4-51)p()(m,R)(m,R)k1R112R22式（4-51）中，10.5，20.5，X0110，X0210，P010.05，P0.15，0.8，0.2，m0，m0，Q0.05，Q0.3，0.8，0212Q1Q21210.2，m0，m0，R0.5，R3。2R1R21233 西安工程大学硕士学位论文14real12GS-KFColoredGS-KF10864state20-2-4-60102030405060708090100timestep图1各个算法的状态值分布4GS-KF3.5ColoredGS-KF32.52stateerror1.510.500102030405060708090100timestep图2各个算法的误差分布表1各个算法的时间及均方根误差GS-KFColoredGS-KF均方根误差2.24950.5471时间（s）2.32844.3849分别采用有色噪声作用下的高斯和Kalman滤波算法(ColoredGS-KF)和白噪声作用下的高斯和Kalman滤波算法（GS-KF）进行状态估计，整个仿真过程中的MonteCarlo次数取值20，每一次蒙特卡罗（MonteCarlo）过程中的时间步数取值100。图1和图2分别是进行一次蒙特卡罗仿真得到的状态估计和状态误差，表1是各个算法经过20次MonteCarlo仿真后所耗费的时间及估计出的均方根误差结果。34 有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法由图1能够看出，有色噪声条件下的高斯和Kalman滤波算法的状态估计结果接近真实状态，两者基本吻合；而按照白色噪声处理的高斯和卡尔曼滤波算法，在第10时刻之前基本接近真实状态，然而在第10时刻之后，其滤波结果与真实值偏差较大。由图2能够看出，有色噪声作用下的高斯和Kalman滤波算法误差较小，按照白色噪声处理的高斯和Kalman滤波算法的误差较大。由表1给出的具体数值可以进一步看出，虽然有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法的时间复杂度相对较高，但其均方根误差小，滤波精度高。综上所述，当系统过程噪声以及系统量测噪声分布是非高斯分布且为有色噪声的情况下，本文提出的新算法能够更好地跟踪目标状态的变化，有效提高滤波精度。4.5本章小结针对噪声既为有色噪声又满足非高斯分布这一情况，本文以卡尔曼滤波为滤波基础，采用状态扩维法和量测扩维法，对有色噪声做白化处理，在此基础上依据高斯和理论处理非高斯分布的滤波问题，推导出系统过程噪声以及系统量测噪声同时是有色噪声时的高斯和Kalman滤波算法。这种方法能有效提高滤波精度，拓展了Kalman滤波算法在工程实践中的应用范围。本文只在卡尔曼滤波基础上作出相应的推导和具体实现工作，对于其他滤波算法，例如扩展卡尔曼滤波、粒子滤波、求积分卡尔曼滤波等，也可以进行类似推导工作。35 西安工程大学硕士学位论文36 总结和展望5总结与展望5.1总结高斯和滤波理论主要用于处理系统噪声为非高斯分布、或非线性系统模型的后验概率密度不能用单个高斯分布来近似的情况。目前，航空航天、电子信息和目标跟踪等领域都广泛和充分的应用了高斯和理论。针对各种特定条件下的系统，学者们结合高斯和思想，推导出了相应特定环境下的滤波算法：例如适用于线性系统的高斯和卡尔曼滤波算法、能够处理弱非线性系统的高斯和扩展卡尔曼滤波算法、能够解决强非线性系统的高斯和粒子滤波算法等。但是目前的研究成果还有两个方面的不足没有得到完全彻底的解决：一方面是由于算法本身的缺陷使得滤波效果不够好，另一方面是某些条件下的滤波问题还没有相应的算法能够处理。因此本课题在现有算法的基础上作进一步的改进和研究，提出滤波精度更高和能够处理其他不同条件下的高斯和滤波算法。本课题来源于国家自然科学基金项目（61201118），完成的主要内容包括：（1）欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法由于环境和设备的影响，滤波过程中常常带有未知的量测系统误差，欠观测条件下的增量卡尔曼滤波算法能够在很大程度上去除这种误差，很好地进行状态跟踪。然而，当系统过程噪声以及系统量测噪声是非高斯分布的情况下，这种方法不能直接使用。针对该问题，本课题结合高斯和的理论思想，提出一种欠观测条件下的高斯和增量卡尔曼滤波算法。该算法将初始状态、系统过程噪声以及系统量测噪声都用高斯和的方式来近似，接着按照增量卡尔曼滤波的思想对每个高斯项做预测以及更新，最后以累加和的形式近似的表示出系统的状态估计值。仿真结果表明：该算法在非高斯噪声分布的情况下，既能成功地消除量测系统误差，又能有效地提高滤波估计的准确度和可靠性。（2）基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法当系统为强非线性高斯分布系统，且量测方程的非线性函数比较复杂，Jacobian矩阵的求解比较困难时，通过采用弦线法去导并结合迭代扩展Kalman滤波算法进行状态估计，但是当系统的非线性较强且满足非高斯分布时，这种算法不再适用。针对该问题，本课题文提出基于弦线去导的高斯和迭代扩展Kalman滤波算法。该算法使用高斯和滤波理论来处理非高斯分布的情况，同时采用割线法，即求解两点间的割线斜率代替Jacobian矩阵，避免了不易求解Jacobian矩阵的困扰。仿真实验证明：该算法能够提高滤波精度，能有效地进行状态估计和状态跟踪。（3）有色噪声条件下的高斯和卡尔曼滤波算法37 西安工程大学硕士学位论文标准Kalman滤波算法要求系统的过程噪声以及系统的量测噪声的均值都是零而且要是高斯白噪声。然而在实际应用的过程中，经常会遇到噪声是非高斯分布的有色噪声，因此不能直接应用Kalman滤波算法。针对该问题，我们结合处理有色噪声的滤波思想以及高斯和滤波理论，提出了有色噪声条件下的高斯和Kalman滤波算法。首先，分别采用状态扩维以及量测扩维的方法对系统的过程噪声和系统的量测噪声进行白化处理。然后，根据高斯和滤波思想，用多个高斯项的叠加来近似非高斯分布，实现对系统的状态估计。仿真实验能够证明，本文提出的新算法能够消除有色噪声的影响，有效地追踪目标状态。5.2展望本课题在高斯和滤波思想的基础上作进一步的改进和研究，将其运用于特定条件下的滤波问题中，提出了欠观测条件下的高斯和增量Kalman滤波(GaussianSumIncrementalKalmanFilterunderpoorobservationcondition,GSIncrementalKF)算法、基于弦线去导的高斯和迭代扩展Kalman滤波(GaussianSumDerivativeFreeIteratedExtendedKalmanFilter,GS-DF-IEKF)算法、有色噪声条件下的高斯和Kalman滤波(GaussianSumKalmanFilterwithcolorednoises,ColoredGS-KF)算法等，并且通过仿真实验证明了以上算法的有效性和可行性。但是在这一方面的研究中仍然有一些方面的问题需要做进一步的解决：（1）本文将增量Kalman滤波的思想融入到GSF算法中，推导出高斯和增量Kalman滤波算法。在非高斯噪声条件下，增量卡尔曼滤波算法虽然能够消除量测系统误差，但是可靠性低。高斯和增量Kalman滤波算法不仅能够消除量测系统误差，保证滤波精度和准确度，同时有效提高了滤波的可靠性。本文仅考虑了系统是线性和弱非线性时服从非高斯分布的情况，对于系统的非线性较强时，也可以结合高斯和算法与相应的非线性滤波算法进行类似扩充，并结合实际应用通过仿真实验来验证它的可行性，这一方面的工作还需做进一步研究。（2）针对量测方程比较复杂，求解Jacobian矩阵比较困难的强非线性非高斯分布系统，本文提出了基于弦线去导的高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法。该算法不用求解Jacobian矩阵，而是采用两点间的割线斜率来代替Jacobian矩阵，同时结合高斯和滤波的思想来处理非高斯分布的情况，即用多个高斯分布的累加和来近似非高斯分布。仿真实验的结果表明，本文算法的滤波精度较高，时间复杂度适中，具有一定的可行性，扩展了高斯和迭代扩展卡尔曼滤波算法的应用范围。本文只给出了系统状态向量是一维情况下的推导过程和仿真实验，当系统状态向量为多维时，可用多维割线法，即式（3-9）进行类似的推导。38 总结和展望（3）针对噪声既为有色噪声又满足非高斯分布这一情况，本文以卡尔曼滤波为滤波基础，采用状态扩维法和量测扩维法，将有色噪声做白化处理，在此基础上依据高斯和理论处理非高斯分布的滤波问题，推导出系统过程噪声以及系统量测噪声同时是有色噪声时的高斯和Kalman滤波算法。这种方法能有效提高滤波精度，拓展了Kalman滤波算法在工程实践中的应用范围。本文只在卡尔曼滤波基础上作出相应的推导和具体实现工作，对于其他滤波算法，例如扩展卡尔曼滤波、粒子滤波、求积分卡尔曼滤波等，也可以进行类似推导工作。39 西安工程大学硕士学位论文40 西安工程大学硕士学位论文参考文献[1]KALMANRE.ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblem[J].JouranlofBasicEngineering,1960,82:35-46.[2]SUNAHARAY.AnApproximateMethodofStateEstimationforNonlinearDynamicalSystems[J].InternationalJournalofControl,1970,11(6):957-972.[3]BUCYRS,SENNEKD.DigitalSynthesisofNonlinearFilter[J].Automatica,1971,7(3):287-289.[4]JULIERSJ,UHLMANNJK.UnscentedFilteringandNonlinearEstimation[C].ProceedingsoftheIEEE,2004,92(3):401-422.[5]POLSONNG,STROUDJR,MULLERP.Practicalfilteringwithsequentialparameterlearning[J].JournaloftheRoyalStatisticalSociety:SeriesB(StatisticalMethodology),2008,70(2):413-428.[6]DOUCETA,GODSILLS,ANDRIEUC.OnsequentialMonteCarlosamplingmethodsforBayesianfiltering[J].StatisticsandComputing,2000,10(3):197-208.[7]HUXiao-li,SCHONTB,LJUNGL.Abasicconvergenceresultforparticlefiltering[J].IEEETransactionsonSignalProcessing,2008,56(4):1337-1348.[8]MAYBECKPS.StochasticModelsEstimationandControl[M].AcademicPress,1982.[9]JAZWINSKIAH.StochasticProcessesandFilletingTheory[M].AcademicPress,1970.[10]MEINHOLDRJ,SINGPURWALLAND.RobustificationofKalmanFilterModels[J].JournaloftheAmericanStatisticalAssociation,1989,84:479-486.[11]ITOK,XIONGK.Gaussianfiltersfornonlinearfilteringproblems[J].IEEETransonAutomaticControl,2000,45(5):910-927.[12]ARASARATNAMI,HAYKINS,ELLIOTTRJ.Discrete-timenonlinearfiltering41 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西安工程大学硕士学位论文致谢时光匆匆，我在西安工程大学的四年本科和三年研究生的学习生活就要结束了，我在这里成长、历练、积累，在学到知识的同时也获得了一段宝贵的人生经历。在这里，我要向学校的老师、同学以及支持我学业的家人们表示最诚挚的感谢！首先要感谢我的导师陈金广副教授和马丽丽老师。三年研究生期间，陈老师和马老师在学业上给予我莫大的帮助。他们时刻提醒我在学术上要严谨认真、要了解世界最新的研究动态和成果、要多想。老师每周给我们开会，了解我们的研究情况，给我们做指导，和我们一起讨论接下来的工作，而且平时我们有了疑问或难题，陈老师都能立刻帮我们解答，耐心的讲解。我在学术上取得的研究成果，离不开两位老师的辅导，再次感谢陈老师和马老师。还要感谢我的同学们。我们一起上下课、一起吃饭、一起嬉笑打闹，因为有你们我的大学和研究生生活变得更加丰富多彩，这段时光会成为我人生永久的记忆。最后，要感谢我的父母。是他们在生活和精神上一直支持我，给予我无私的爱，让我经历这宝贵的研究生生活。只想说一句，你们辛苦了，永远爱你们！2015年6月下旬于西安工程大学计算机科学学院49