张量的低秩逼近-MinruBai.ppt

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1、张量的低秩逼近白敏茹湖南大学数学与计量经济学院2014-11-15目录张量的基本概念张量特征值的计算张量秩1逼近和低秩逼近张量计算软件复张量的最佳秩1逼近和特征值1.张量的基本概念张量:多维数组1阶张量:向量2阶张量:矩阵A=(aij)3阶张量:长方体A=(aijk)张量的秩张量的秩:1927年HitchcockNP-Hardn-rank秩1张量:可计算其中表示张量X的mode-kmode秩1矩阵:A=abT=(aibj)1.张量的基本概念张量的低秩逼近:用一个低秩的张量X近似表示张量A最佳秩R逼近Tuck

2、er逼近最佳秩1逼近:R=11.张量的基本概念1.张量的基本概念张量的完备化低秩张量M部分元素被观察到,其中是被观察到的元数的指标集.张量完备化是指:从所观察到的部分元素来恢复逼近低秩张量MZ(E)-特征值H-特征值US-特征值2005,QiB-特征值2014,Cui,Dai,Nie2014,Ni,Qi,Bai张量的特征值1.张量的基本概念2.张量特征值的计算对称非负张量的最大H-特征值的计算:Ng,Qi,Zhou2009,Chang,Pearson,Zhang2011,L.Zhang,L.Qi2012,Q

3、i,Q.Yang,Y.Yang2013Perron-Frobenius理论对称张量的最大Z-特征值的计算:ThesequentialSDPsmethod[Hu,Huang,Qi2013]Sequentialsubspaceprojectionmethod[Hao,Cui,Dai.2014]Shiftedsymmetrichigher-orderpowermethod[Kolda,Mayo2011]Jacobiansemidefiniterelaxations计算对称张量所有实的B-特征值[Cui,Dai,N

4、ie2014]对称张量的US-特征值的计算:GeometricmeasureofentanglementandU-eigenvaluesoftensors,SIAMJournalonMatrixAnalysisandApplications,[Ni,Qi,Bai2014]ComplexShiftedSymmetrichigher-orderpowermethod[Ni,Bai2014]2.张量特征值的计算3.张量的秩1逼近和低秩逼近张量的秩1逼近最佳实秩1逼近的计算方法:交替方向法(ADM)、截断高阶奇异值

5、分解(T-HOSVD)、高阶幂法(HOPM)和拟牛顿方法等。----局部解,或稳定点Nie,Wang[2013]:半正定松弛方法----全局最优解最佳复秩1逼近的计算方法:Ni,Qi,Bai[2014]:代数方程方法----全局最优解3.张量的秩1逼近和低秩逼近张量的低秩逼近最佳秩R逼近的计算方法:交替最小平方法(ALS)最佳Tucker逼近的计算方法:高阶奇异值(HOSVD),TUCKALS3,t-SVD4.张量计算软件Matlab,Mathematica,Maple都支持张量计算Matlab仅支持简单运

6、算,而对于更一般的运算以及稀疏和结构张量,需要添加软件包(如:N-wayToolbox,CuBatch,PLSToolbox,TensorToolbox)才能支持,其中除PLSToolbox外,都是免费软件。TensorToolbox是支持稀疏张量。C++语言软件:HUJITensorLibrary(HTL),FTensor,BoostMultidimensionalArrayLibrary(Boost.MultiArray)FORTAN语言软件:TheMultilinearEngine[A]GuyanNi

7、,LiqunQiandMinruBai,GeometricmeasureofentanglementandU-eigenvaluesoftensors,SIAMJournalonMatrixAnalysisandApplications2014,35(1):73-87[B]GuyanNi,MinruBai,ShiftedPowerMethodforcomputingsymmetriccomplextensorUS-eigenpairs,2014,submitted.5.复张量的最佳秩1逼近和特征值Basic

8、Definitions1.AtensorSiscalledsymmetricasitsentriess_{i1···id}areinvariantunderanypermutationoftheirindices.2.AZ-eigenpair(,u)toarealsymmetrictensorSisdefinedby3.Aneigenpair(,u)toarealsymmetrictensorSisdefin

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