3阶张量的最佳秩-R逼近

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1、第25卷第6期滨州学院学报2009年12月Vo1．25，No．6JournalofBinzhouUniversityDec．，20093阶张量的最佳秩一逼近许传亮，唐晓春(日照职业技术学院基础部，山东日照276826)摘要：讨论了3阶张量的最佳秩一r逼近有关性质，并基于此建立了3阶张量的最佳秩一r逼近唯一的充分条件．关键词：3阶张量；秩一r逼近；PARAFAC分解的唯一性中图分类号：O151．2文献标识码：A文章编号：1673一个m阶张量是由一组具有个下标的元素组成的一个量．若一个张量可以表示成个向量的外积，那么称该／T／阶张量为秩～1的．若

2、一个张量可以表示成若干个秩～1张量的线性组合而且所需要的秩一1张量的数目至少为r，那么称该张量的秩为rr．在这种意义上，张量的个秩一1张量的线性组合称为该张量的经典分解或PARAFAC分解l】]在图像处理中，常会遇到如下问题：给定一个3阶维张量A，求该张量的一个最佳秩一r逼近，也就是求一组实数‘和3r组向量“‘∈R”，J一1，2，⋯，r，是一1，2，3，使得A一’“”。“⋯·。“—l为下述问题的最优解min《fA—A{f，，这里fiAll，表示张量的Frobenius范数．低秩分解在数据压缩rank(Ar)及高阶数理分析中具有重要应用l_2]

3、．对该问题，首先分析阶数为2的情形．显然，此时该张量对应一个矩阵．对此，利用Eckart—Young定理，可以直接得到该张量的最佳秩一r逼近．也就是，如果矩阵A有奇异值分解，A—U：．其中，矩阵：中的对角元依据大小排成≥。≥⋯≥，那么，对于任意的r

4、最佳秩一r逼近唯一的充分条件．1问题叙述与分析设A为一3阶张量．那么，一个3阶张量的最佳秩一r逼近问题可以表述成下面的优化问题l口3一n1¨M2‘“¨”～⋯一lS．t．C-R，j．一1，2，⋯，r，乱‘’C-R，“‘’ll。一1，一1，2，⋯，r，忌一1，2，3下面对该问题做一分析．设张量为张量A的最佳秩一r逼近，其中收稿日期：2009—05—14基金项目：国家自然科学基金资助项目(10671121)第一作者简介：许传亮(1966～)，男，山东日照人，副教授，硕士，主要从事应用数学研究根即据文36滨州学院学报第25卷[献A一=“¨。U(12)

5、。U‘。+⋯+‘“‘¨。U‘。“‘r3中．3那么，对于任意的1≤j。≤r，秩一1张量‘。“‘％”。‘。’。扎为下述张量的最佳秩一1逼近：A一∑。。．沦讨的奎A一一，一1tJ％J011^0OA甜z)。“(Jo3)一，()，(101’)(甜，“(Jo2)()，“3)+，所以，对于上述优化问题的目标函数成立_厂()一llA一ll；一JlAll；一2∑’Au‘“‘“‘+∑(‘)+J=1J二=1_1‘J女’<“(jl】，(>(甜(j2)，甜(2>((』_{]，(3>=．A}≠A}JA_l；一∑(‘，)。一∑‘，‘<“‘，“‘⋯)(“‘，“><。，。>=

6、JIAll；一fI∑∽。“。“‘渤ll；．据此，有如下结论．定理1设张量A为m阶维一张量A的最佳秩一r逼近．那么，iIA—Al】；={IAl；一llAll}．、^下面给出反例说明一个张量的秩一r逼近A一一∑c，“。“。“c中，系数t未必被l_Al，界J=1定．为此，需要如下结论l1．命题l设3阶张量A有PARAFAC分解u(il)。“。“．五1定义矩阵：A===(]“”，2”，⋯，’)，B一(¨，‘。，⋯，‘)，C一("，‘，⋯，‘坞)．若其中两个矩阵是行满秩的，而第3个矩阵没有成比例的行，则该3阶张量的PARAFAC分解是唯一的．为证明上述

7、的结论取3阶张量A，其对应的命题1中的矩阵分别为r√2I2A】0000。00lA=}0O00030l2O0100000030O001OO04,／e10O厂√29l2,／2OOOoB=f，C—000÷0O100OOO1其中，参数A，，。，适当选取．显然，这3个矩阵均为非奇异矩阵，根据命题1，该矩阵所决定的张量的PARAFAC分解是唯一的而且它的秩为4．第6期许传亮，唐晓春3阶张量的最佳秩一r逼近37直接计算得到J}∑。。===∑()。+2,l㈩<，><’,f(22)><⋯~f(23)>一i=1J—l(z一㈩，=l如果取‘一21‘>0并且(√一1

8、)(‘)>(‘。)+(‘)，那么’f{>ll∑∽Ⅲ’。∽’。’显然，对该张量的最佳秩一4逼近为其自身：∑∽。。．其中系数lI并不被lll，所界定．2张量PARAFA