基于张量秩校正的图像恢复方法

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1、摘要：针对医学图像和视频图像的恢复问题，基于张量表示，研究有限样本下的低秩张量数据恢复问题，在张量奇异值分解（t-SVD）理论的基础上，提出了张量秩校正模型和两阶段张量秩校正方法，第一阶段是用张量核范数最小化模型求得预估解，第二阶段，根据预估解，求解张量秩校正模型，获得更高精度的解.构建了求解张量秩校正模型和张量核范数最小化模型的张量近似点算法，使得可以在实数域上对张量直接进行计算，并且从理论上证明了该算法的收敛性.通过对医学图像和视频图像的数值仿真实验，验证了本文所提出模型和方法的有效性，实验结果显

2、示，张量秩校正模型和方法能够取得更高的恢复精度.关键词：图像恢复；张量奇异值分解；张量秩校正；张量近似点算法中图分类号：TP751文献标识码：A文章编号：1674-2974(2016)10-0148-07Abstract：Tensor-basedrestorationofmedicalimagesandvideoimageswasstudiedwithlimitedsamples.Onthebasisofthetheoryoftensorsingularvaluedecomposition(t-SVD

3、)，atensorrank-correctionmodel(CRTNN)wasproposedtocorrectthetensornuclearnormminimizationmodel(TNN).Atwo-stagerankcorrectionmethodisgivenasfollows：thefirststageisusedtogenerateapre-estimatorbysolvingtheTNNmodel，andthesecondstageistosolvetheCRTNNmodeltoge

4、nerateahigh-accuracyrecoverybythepre-estimator.AtensorproximalpointalgorithmwasproposedtosolvetheCRTNNmodelandtheTNNmodel,makingitpossibletocalculatetensordirectlyintherealfield.Theconvergenceofthealgorithmwasprovedintheory.Numericalexperimentsofmedical

5、imagesandvideoimagesverifytheefficiencyoftheproposedmodelandmethod.Theexperimentresultsshowthattensorrank-correctionmodelandmethodcanachievehigher-accuracyrecovery.Keywords：imagerestoration；t-SVD；tensorrank-correctionmodel；tensorproximalpointalgorithm随着

6、电子技术和成像技术的发展，从医学图像到遥感图像，从导弹精确制导，到人脸识别及指纹识别再到具有视觉功能的智能机器人，人类活动的方方面面都会产生或涉及到大量的高维图像.高维图像已经成为一种重要的多媒体形式，广泛存在于人们的日常生活中.图像在形成，传输和记录的过程中受多种因素的影响，图像的质量会有所下降，典型表现为色彩模糊和有噪声干扰等.这一降质的过程被称为图像的退化.图像恢复的目的就是尽可能地恢复退化了的高维图像的本来面目.传统的图像处理方法是基于向量和矩阵的表示形式，往往破坏了这些数据的原始空间结构，在

7、分析过程中不能够很好地刻画这些数据的本质和充分挖掘其内部特性.张量作为向量和矩阵表示的高阶推广，能够更好地表达高阶数据复杂的本质结构，已被广泛应用于计算机视觉与图像、人脸识别、医学图像和统计信号处理等研究领域中[1-6].高维图像数据往往具有低维属性，张量完备化问题就是利用张量数据的低秩结构，是一种在有限样本或测量数据下最小化张量的秩的优化问题.最小化张量的秩是NP难问题，通常的处理方法有:1)将张量转化成矩阵，然后求解矩阵完备化问题[7];2)用特殊的张量分解方法来分解张量，如CANDECOMP/P

8、ARA-FAC(CP)分解，Tucker分解等方法.由于矩阵的核范数是矩阵秩的紧的凸逼近，因此对矩阵完备化问题的求解一般是将其转化为矩阵核范数最小化问题求解.对矩阵核范数最小化问题的求解有近似点算法（PPA）[8]，交替方向方法（ADM）,加速近似梯度方法（APG）[9].虽然低秩矩阵完备化问题得到很好发展，但张量完备化问题研究还很不完善.不同于矩阵秩只有一种定义，张量秩有多种定义.传统上主要有两种张量秩的定义，CP秩和Tucker秩，它们分别是基于CP