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1、张量的低秩逼近白敏茹湖南大学数学与计量经济学院2014-11-15目录张量的基本概念张量特征值的计算张量秩1逼近和低秩逼近张量计算软件复张量的最佳秩1逼近和特征值1.张量的基本概念张量：多维数组1阶张量：向量2阶张量：矩阵A=(aij)3阶张量：长方体A=(aijk)张量的秩张量的秩：1927年HitchcockNP-Hardn-rank秩1张量：可计算其中表示张量X的mode-kmode秩1矩阵：A=abT=(aibj)1.张量的基本概念张量的低秩逼近：用一个低秩的张量X近似表示张量A最佳秩R逼近Tu
2、cker逼近最佳秩1逼近：R=11.张量的基本概念1.张量的基本概念张量的完备化低秩张量M部分元素被观察到,其中是被观察到的元数的指标集.张量完备化是指:从所观察到的部分元素来恢复逼近低秩张量MZ（E）-特征值H-特征值US-特征值2005,QiB-特征值2014，Cui,Dai,Nie2014，Ni,Qi,Bai张量的特征值1.张量的基本概念2.张量特征值的计算对称非负张量的最大H-特征值的计算：Ng,Qi,Zhou2009，Chang,Pearson,Zhang2011，L.Zhang,L.Qi20
3、12，Qi,Q.Yang,Y.Yang2013Perron-Frobenius理论对称张量的最大Z-特征值的计算：ThesequentialSDPsmethod[Hu,Huang,Qi2013]Sequentialsubspaceprojectionmethod[Hao,Cui,Dai.2014]Shiftedsymmetrichigher-orderpowermethod[Kolda,Mayo2011]Jacobiansemidefiniterelaxations计算对称张量所有实的B-特征值[Cui
4、,Dai,Nie2014]对称张量的US-特征值的计算：GeometricmeasureofentanglementandU-eigenvaluesoftensors,SIAMJournalonMatrixAnalysisandApplications，[Ni，Qi，Bai2014]ComplexShiftedSymmetrichigher-orderpowermethod[Ni,Bai2014]2.张量特征值的计算3.张量的秩1逼近和低秩逼近张量的秩1逼近最佳实秩1逼近的计算方法：交替方向法(ADM)
5、、截断高阶奇异值分解(T-HOSVD)、高阶幂法(HOPM)和拟牛顿方法等。----局部解，或稳定点Nie,Wang[2013]：半正定松弛方法----全局最优解最佳复秩1逼近的计算方法：Ni,Qi，Bai[2014]：代数方程方法----全局最优解3.张量的秩1逼近和低秩逼近张量的低秩逼近最佳秩R逼近的计算方法：交替最小平方法(ALS)最佳Tucker逼近的计算方法：高阶奇异值（HOSVD），TUCKALS3，t-SVD4.张量计算软件Matlab,Mathematica,Maple都支持张量计算Ma
6、tlab仅支持简单运算，而对于更一般的运算以及稀疏和结构张量，需要添加软件包（如：N-wayToolbox,CuBatch,PLSToolbox,TensorToolbox）才能支持，其中除PLSToolbox外，都是免费软件。TensorToolbox是支持稀疏张量。C++语言软件：HUJITensorLibrary(HTL)，FTensor,BoostMultidimensionalArrayLibrary(Boost.MultiArray)FORTAN语言软件：TheMultilinearEngi
7、ne[A]GuyanNi,LiqunQiandMinruBai,GeometricmeasureofentanglementandU-eigenvaluesoftensors,SIAMJournalonMatrixAnalysisandApplications2014,35(1):73-87[B]GuyanNi,MinruBai,ShiftedPowerMethodforcomputingsymmetriccomplextensorUS-eigenpairs,2014,submitted.5.复张量的最
8、佳秩1逼近和特征值BasicDefinitions1.AtensorSiscalledsymmetricasitsentriess_{i1···id}areinvariantunderanypermutationoftheirindices.2.AZ-eigenpair(,u)toarealsymmetrictensorSisdefinedby3.Aneigenpair(,u)toarealsymmetrictensorSisdefin
