信号与系统 教学课件 作者 郭银景 08第八章：系统的状态变量分析.ppt

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1、第八章系统的状态变量分析目录§8.1状态变量和状态方程§8.2状态方程的建立§8.3连续系统状态方程的解§8.4离散系统状态方程的解§8.5系统的可控制性和可观测性§8.1状态参量和状态方程描述系统的方法可分为输入－输出法和状态变量法。前面几章所讨论的时域分析和变换域分析都属于只将系统的输入变量和输出变量联系起来的输入－输出法，它不便于研究与系统内部情况有关的各种问题。随着现代控制理论的发展，人们不仅关心系统输出量的变化情况，而且对系统内部的一些变量也要进行研究，以便设计和控制这些变量达到最优控制目的。这就需要以内部变量为基础的状态变量分

2、析法。状态变量:用来描述网络中一状态随时间变化的变量称之为状态变量。状态方程：描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和激励关系的一阶微分方程，称为状态方程。输出方程：由状态变量和激励来表示各个输出的方程组，它是代数方程。动态方程：状态方程和输出方程的总称称为动态方程或系统方程。几个名词定义一、状态参量分析法例题：LRC+-解：列微分方程（输入输出描述法）：求所示电路的状态方程和输出方程。其中写为矩阵形式：只要知道的初始状态及输入即可确定电路的全部行为。输出方程此方法称为状态变量或状态空间分析法；二．动态方程的一般形式由于在连续时间系统中，

3、状态变量是连续时间函数,因此，对于线性的因果系统,在任意瞬时,状态变量的一阶导数是状态变量和输入的函数,有多输入-多输出连续系统上式可简记为(状态方程)同样,对于输出有(输出方程)对于离散系统也可以用状态变量分析。设有阶多输入多输出离散系统如图：其状态方程和输出方程为§8.2状态方程的建立一.电路状态方程的列写（1）选所有的独立电容电压和电感电流作为状态变量；（2）对每一个独立电容，写出独立结点电流方程；对每一个独立电感，写出独立回路电压方程；（3）按上述步骤所列的方程中，若含有除激励以外的非状态变量，则应利用适当的结点电流方程或回路电压

4、方程将它们消去，然后整理成标准形式。例题写出所示电路的状态方程，若以电流和电压为输出，列出输出方程。解：选和为状态变量，并令又由KCL、KVL定理得，整理得到状态方程则写成矩阵形式的输出方程为二.连续系统状态方程的建立一般而言，如有n阶微分方程则其系统函数可写为则其状态方程和输出方程为（标准形式）其中各矢量为例题1.一LTI连续系统，描述它的微分方程为列出它的状态方程和输出方程。解：按式写出其系统函数按系统函数可画出其框图和信号流图选各积分器的输出端信号为状态变量，则其输入端信号就是相应状态变量的一阶导数，如图中所示。可列出状态方程和输出

5、方程为（矩阵形式）例题2.一LTI连续系统，描述它的微分方程为列出它的状态方程和输出方程。解：按式写出其系统函数按系统函数可画出其框图和信号流图其状态方程同例1，其输出方程为离散系统状态方程的建立离散系统是用差分方程描述的，选择适当的状态变量把差分方程化为关于状态变量的一阶差分方程组，这个差分方程组就是该系统的状态方程。如果有p个输入，q个输出的n阶离散系统，其状态方程的一般形式是输出方程为列写离散系统状态方程的方法与连续系统类似，也可利用框图或信号流图列出。由于离散系统状态方程是那么其输入端信号就是，这样，就可根据系统信号流图或框图列出

6、该系统的状态方程和输出方程。§8.3连续系统状态方程的解一．状态方程的时域解在常系数线性矢量微分方程两边左乘，移项有化解为两边取积分，并考虑初始状态t0=0-，得状态方程的求解有时域法和变换法对上式两边左乘，并考虑到　　　　　，可得状态方程的解：则得到输出矢量，设　　　　　（状态转移矩阵）若用表示输出矢量的零状态响应，则有现在定义一个的对角矩阵则例题：一个二阶系统，其状态方程为当时当时求该系统的状态转移矩阵解：知状态矢量的零输入响应由已知条件可得则解得和二、状态方程的变换解状态矢量x（t）的拉普拉斯变换为简记作同样由拉普拉斯变换性质得单边

7、拉普拉斯变换是求解线性微分方程的有力工具，现在用它来求解状态方程式和输出方程式。设对状态方程取拉普拉斯变换，得上式两端前乘以，得上式是状态矢量的拉普拉斯变换。由式可见，其第一项的逆变换将是状态矢量的零输入解，第二项的逆变换是状态矢量的零状态解。连续系统稳定性的判断转移函数分母的特征多项式此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定情况，当根落在s平面的左半平面，可确定系统为稳定的。这需要解方程§8.4离散系统状态方程的解状态方程的求解有时域法和变换法一．状态方程的时域解求解矢量差分方程的方法之一是迭代法或递推法。但用递推法一般难以得到闭合形

8、式的解，所以，一般而言可用迭代法解状态方程式。例题某离散系统的状态方程为设初始状态和输入为求方程的解。解：若已知时的状态和时的输入，则将它们代入式并逐次迭代，得如果,则第一项是输入的解,即零输