信号与系统 教学课件 作者 郭银景 04第四章：连续系统的频域分析.ppt

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1、第四章连续系统的频域分析目录4.1信号分解为正交函数4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱4.5傅里叶变换的性质4.6周期信号的傅里叶变换4.7LTI系统的频域分析4.8取样定理§4.1信号分解为正交函数1.正交：2.正交函数集3.完备正交函数集：例如：定理4.1-1设在(t1,t2)区间上是关于某一类信号的完备的正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号都可以精确地表示为的线性组合，即式中，为加权系数，且有该式称为正交展开式，有时也称为广义傅里叶级数，称为傅里叶系数。(4.1-1)(4.1-2)定理4.1-2在式条件下，平方误差，由式有式(4.1-4)可以理解为：的能量等

2、于各个分量的能量之和，即能量守恒。定理4.1-2有时也称为帕塞瓦尔定理。(4.1-4)(4.1-3)§４.2傅里叶级数一傅里叶级数的三角形式设周期信号，其周期为T，角频Ω=2π/T，当满足狄里赫利()条件时，它可分解为如下三角级数——称为的傅里叶级数其中当为t的奇函数时，则有为t的奇函数，为t的偶函数，因而有：当为t的偶函数时，由于为t的偶函数，为t的奇函数，有二傅里叶级数的指数形式其中：物理意义：周期信号可分解为许多不同频率(n)的虚指数信号()之和。　每个分量的大小用Fn来表示，分为幅度和相位。例4.2-１把锯齿波信号展为傅里叶级数。§4.3周期信号的频谱（A0为直流分量幅度；An为

3、n次谐波的振幅；为n次谐波的初相角）一频谱的概念：频谱分为：幅度频谱：以频率ω（或角频率）为横坐标，为纵坐标。相位频谱：以频率ω（或角频率）为横坐标，为纵坐标。图４.３－1：信号的双边频谱(a)振幅谱；(b)相位谱二　周期信号频谱的特点离散性；谐波性（是基波频率的整数倍）。谱线第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率Ω的整数倍频率上，即含有Ω的各次谐波分量，而决不含有非Ω的谐波分量。第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的增大而

4、逐渐减小。当→∞时，

5、Fn

6、→0。三周期矩形脉冲的频谱f(t)toT(a)FnEow52pTW＝f(t)toT(b)Eow10FnEE2T2pt2pTW＝2ptWW4pt4pt周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。实际工作中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内。因而，常常将ω=0~这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为四　周期信号的功率周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。其平均功率为其功率信号显然为§4.4非周期信号

7、的频谱一傅里叶变换周期信号,其指数形式的傅里叶变换为其振幅为称为非周期信号的频谱密度函数。非周期信号的傅里叶变换可简记为：傅里叶变换存在的充分条件为：应满足绝对可积，即要求傅里叶变换的充分条件：在无限区间内绝对可积，即但这并非必要条件。在引入(t)函数后，可将条件放宽，使许多不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。二非周期信号的频谱函数1.f(t)为实函数时习惯上将的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱(并不是幅度!)，而将曲线称为相位频谱，它们都是ω的连续函数。式中：存在下列关系：三典型信号的傅里叶变换1.门函数g(t)，幅度为1,宽度为.12.单边指数函数,(>0)函数与频谱特点：

8、若是t的偶函数是的实函数;若是t的奇函数是的虚函数;若非奇非偶为复函数,用幅度和相位才能表示。3.双边指数函数的频谱函数(a)双边指数函数；(b)频谱F(jw)wot1oa2e£ateat(a＞0)f(t)解：双边指数信号可表示为其频谱函数为4.如下所示信号的频谱函数解：(a)信号(b)频谱X(w)w(b)oa1of(t)t1(a)(a＞0)1a1--四奇异函数的傅里叶变换1.单位冲激函数的频谱函数信号频谱F(jw)wof(t)t(a)o1(b)d(t)2.符号函数的频谱函数解：作一双边函数()()()()。求极限得到，，求wwajFjFttft11e-=(a)的波形；(b)频谱X(w)

9、owto113.阶跃函数的频谱函数解：因为可知Ot1wO()wF()π§4.5傅里叶变换的性质一、线性则有二、奇偶性1、实部是偶函数R()=R(-)，虚部是奇函X()=-X(-).模是偶函数，=,相角是奇函()=-(-)。2、若是偶函数,则X()=0,=R()是实函数，也是偶函数若是奇函数,则R()=0,=是虚函数，也是奇函数偶：∵是的奇函数，虚部积分为0，∴只有实部