考研数学D10考研基础班(1).ppt

《考研数学D10考研基础班(1).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第十章复习课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲面积分定积分:二重积分:三重积分:显然（一）曲线积分的概念与性质（二）曲线积分的计算方法（三）格林公式及其应用主要内容一、曲线积分的计算法（四）线积分的应用（一）曲线积分的概念与性质（1）定义设xoy面上的连续曲线L是分段光滑的，且有有限长度，函数z=f(x,y)在L上有界，在曲线L上依次插入分点及为L的两个端点),把L分成n个小弧段记小弧段的长度为并在上任取一点如果极限存在，1.对弧长的曲线积分的概念及性质

2、存在，如果极限则称此极限为函数f(x,y)在平面曲线L上对弧长的曲线积分，记作即积分变量积分弧段被积表达式弧长元素积分和式曲线形构件的质量也称第一类曲线积分.注意：(1)曲线积分也是一个确定的常数，它只与被积函数f(x,y)及积分弧段L有关.(2)f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为(3)若L分段光滑的则有(4)存在条件：当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分存在.(5)物理意义：是线密度在L上的线积分.(6)几何意义：即：高在底L上的线积分.(7)推广:函数f(x,y,z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为特别地：联想：（

3、2）性质(4)无向性：对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.即思考:定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.回忆定积分：故第一类曲线积分与定积分是有区别的.2.对坐标的曲线积分的概念及性质（1）定义设L为xoy面上从点A到点B的一条分段光滑的有向曲线，函数在L上有界.沿L的方向依次取分点把L分成n个有向小弧段设并记为所有小弧段长度的最大值.在上任意取一点如果极限存在，那么这个极限称为函数在有向弧段L上对坐标x的曲线积分，记作类似地，如果极限存在，那么这个极限称为函数在有向弧段L上对坐标y记作的曲

4、线积分，即其中称为被积函数，称为被积表达式，(1)L称为积分路径.说明：(2)与第一类曲线积分记号的区别.可正可负.这里的(3)组合形式由实例和定义知:变力沿AB所作的功为：(4)特殊路径情况x由若则记作（5）存在条件：当在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分存在.(6)推广到空间有向曲线弧（2）对坐标的曲线积分的性质则即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.回忆定积分：故定积分是第二类曲线积分的特例.例1.设曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，为L上（B）（C）（D）（具有一阶连续偏导数）,（A）则下列小于零的是（）从点M到点N的一段弧，

5、B（二）曲线积分的计算方法基本思路:计算定积分转化求曲线积分1.计算第一类曲线积分的基本方法----三代一定定义计算方法对弧长的曲线积分的计算步骤：化为：例1.解:oayxA所以Ｂ解:ox1-22y例2.分析:若需要分段计算，较复杂.注意到：Ｌ关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数.★计算第一类曲线积分的简化方法：1.利用第一类曲线积分的几何意义.2.利用第一类曲线积分的对称性.3.利用第一类曲线积分的积分弧段的方程化简被积函数.注：第一类曲线积分的对称性：LL1OyxLL1OxyLL1Oxy例3.解:对于用一般方程表示的空间曲线,曲线积分常需要把

6、的方程化为参数方程，这个过程一般是比较困难的，在特殊情况下可用特殊方法处理.要计算函数对弧长的推广:设空间曲线弧的参数方程为则例4.解:xyzO例5.计算其中L为圆周提示:原式=说明:1.若用参数方程计算,则2.若用参数方程：2.计算第二类曲线积分的基本方法----二代一定定理特殊情况：(1)曲线弧L的方程为：x自a到b,则(2)曲线弧L的方程为：y自c到d,则(3)推广则对坐标的曲线积分的计算步骤：化为：比较直接法或参数方程法例6.计算其中L为沿抛物线解法1:化为对x的定积分，则解法2:化为对y的定积分，则从点的一段.例7.计算其中L为圆周沿逆

7、时针方向.解一:=0.解二:在L上则于是0.0.这里故由格林公式设L围成区域D，例8.解:3.两类曲线积分之间的联系（三）格林公式及其应用1.格林公式：(1)格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广，其中L是D的正向边界曲线（有向性）.D是有界闭区域（封在D上有一阶连续偏导数（连续性）.上的二重积分与区域边界上的线积分的联系.注意：(2)公式的记忆方法：沟通了区域(3)对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向闭性），(4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有：——格林公式;(5)格林

8、公式适用于平面曲线上的第二类线积分的计算.(6)如果L不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别点上一阶偏导数不连续，格林