考研数学 D5考研基础班.ppt

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1、第五章定积分一、基本内容二、与概念有关的问题三、定积分的计算方法四、典型例题与解答1一、基本内容总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.1.定积分的定义:2积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和注意：dx(1)区别：是一个确定的常数.定与不定的区别？3(5)(3)定积分与区间的分割方法无关，(4)当函数在区间上的定积分存在时，称在区间上可积.(2)定积分仅与被积函数及积分区间有关，使用什么字母表示无关.即dudtdx.而与积分变量的取法无关.与曲边梯形面积变速直线运动的路程否则称在区间上不可积

2、.4曲边梯形的面积曲边梯形面积的负值2.定积分的几何意义abxyoabxyodxdx1)当时，A2)当时，53)当在[a,b]上有正有负时，dx表示各部分面积的代数和.即它是介于x轴、函数的图形及两条直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和.且x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号.的几何意义：dx故6定理13.存在定理函数在区间上连续即dx存在.在区间上可积.定理2且只有有设函数在区间上有界，限个间断点则在区间上可积.定理的证明省略,只要求知道结论.定理3设函数在区间上只有有限个第一类间断点则在区间上可积.故改变积分区间内有限个点处的函数

3、值，不影响积分值.74.定积分的性质线性性：(1)可加性：(2)(3)dx则若(4)（性质中涉及到的定积分均存在）解:例.比较积分值的大小.(估值定理)(5)则(6)定积分中值公式则至少存在一点使8说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对因dx95.积分上限函数6.以下几个符号的区别与联系1)以上几个符号存在的条件及概念.2)在存在的情况下，它们的区别与联系.的区别：一个确定的常数无数个函数一个函数一个确定的常数认识它吗？10的联系：11☆定积分定义定理：或者二、与概念有关的问题如:12例1.用定积分表示极限:解:定理：或者另解:

4、13解:将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已知利用夹逼准则可知(1998考研)例2.求14例3.如图连续函数在区间，上的图像分别是直径为1的上、下半圆周，在区间，上的图形分别是直径为周，设，则下列结论正确的是（）的上、下半圆B.C.D.A.1516设连续，则解:A例4.练习：求17例5.设解法1:解法2:对已知等式两边求导,得18例6.设求解:无法直接求出f(x),因为没有初等函数的原函数，所以采用分部积分法.19设连续，且解：例7则思考题:解：求定积分为常数,故应用积分法定此常数.设,则20三、定积分的计算方法：1.定积分的基本计算方法（常

5、规计算方法有三种）（1）微积分基本公式（2）定积分的换元公式（3）定积分的分部积分公式注意各个公式成立的条件(牛顿—莱布尼茨公式)则定理1(微积分基本公式)注意：该公式条件是在积分区间上连续，可推广为积分区间上有有限个第一类间断点时公式也成立.设函数在区间上具有连续导数，则有定理2(分部积分公式)定理3(定积分的换元法)设函数单值函数满足:1)2)在上则21说明:1)当<,公式仍成立.2)必需注意不换元时不换限，换元的同时应换限,3)与定积分的换元公式相比，这里没有要求当然最好选单调区间.上限与上限对应，下限与下限对应.单调，4)如果在上的值域

6、超出时，只要在这个值域上连续即可.5)该公式的作用是可以简化计算.22如：计算解令则∴原式=且由定积分的几何意义P243例1x0at023当时计算解令则且当时∴原式=说明：若由x的范围求t的范围时如下做法对吗？在上x0at242.定积分计算的特殊方法（公式法，奇偶性，周期性，几何意义等）(1)(3)n为偶数n为奇数253.几个重要的代换技巧及常用结论1)奇偶函数的定积分即oxy-aaa-axy0结论1：当在上连续，且有(2)为奇函数，则为偶函数，则(1)26证:奇偶偶倍奇零27奇函数解:例1.计算原式偶函数单位圆的面积28证:例2.证明证毕则经验：

7、特点：使限变号特点：不改变积分限29结论2：若在上连续，证明（1）（2）证:（1）设x0t0特别的：2)两个常用公式(n为正整数)30(2)设证:31例3.计算解:该被积函数的原函数不是初等函数练习：求提示：分部积分后用公式323)积分上限函数的奇偶性为偶函数（1）为奇函数（2）证明（1）同理可证明（2）设是连续函数，.证明：结论3：P250第10题33当为周期函数，也是周期函数设是连续函数，是的原函数，则（）设是连续函数，下列函数必为偶函数的是（）02研1999研当为奇，必偶当为偶，必奇当为单调增函数，也是单调增函数344)周期函数的定积分设是以

8、T为周期的连续函数，则证明由于证毕结论4：35四、典型例题与解答证:例1.右端设为连续函数，试证分部积分=左端36例2.设