考研数学 D4考研基础班.ppt

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1、第四章不定积分Ⅰ.基本概念Ⅱ.不定积分的计算1Ⅰ.基本概念一、原函数的概念1.原函数的定义：如果在开区间I内，可导函数的即当时，或那么函数称为f(x)在区间I内的一个原函数.导数为2.原函数存在的条件如果函数在开区间内连续，那么在内存在可导函数使简言之：连续函数一定有原函数.2定理1.存在原函数.即在I内一定存在可导函数使初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数3.原函数的结构定理：(1)若是的一个原函数，则都是的原函数.(2)若都是的原函数，一个常数.则与只差3二、不定积分的概念与性质函数在开区间内的所有原函数称为函数的不定积分.记为1.定义：—积分号;—被积函数;—被积

2、表达式.—积分变量;有定义知：若(C为任意常数)C称为积分常数,不可丢!例如：4(k是常数，2.不定积分的性质：或或先积后微，函数不变.先微后积，函数加5例1若提示:例2若是的原函数,则提示:已知6例3若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B??或由题意其原函数为7例4已知的一个原函数是求解:说明:此题若先求出再求积分反而复杂.8例5已知求解:两边求导,得则(代回原变量)9一、基本积分公式：（24个）①幂2个②指2个③三角10个④双曲2个⑤有理式4个⑥无理式4个注意：以上公式在被积函数的连续区间内成立，本章常把这个区间省去不写，第五章自然要考虑这个区间.Ⅱ.不定积分的计算10

3、二、不定积分计算的基本方法：（1）直接积分法：通过简单的恒等变形,利用基本积分公式和积分的性质求不定积分的方法.（2）换元积分法第一类换元法第二类换元法(代换:)（3）分部积分法使用原则:1)由易求出v;2)比好求.经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,前者为u,后者为.11若令回代关键：将化为：则有换元公式可导，dududxdd1)第一类换元积分法若好求122)第二类换元积分法则有换元公式：(易积)其中：是的反函数.d令回代关键：13三角代换的目的也是化掉根式.一般规律如下：可令可令可令注意:灵活运用三角代换,以上规律并不是绝对

4、的.当被积函数中含有当分母的次数较高时,可采用倒代换14（4）几种特殊类型积分的一般积分方法有理函数分解多项式及部分分式之和指数函数有理式指数代换三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换15需要注意的问题：(1)一般方法不一定是最简便的方法,(3)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.例如：(4)初等函数求导初等函数积分(2)所用的方法不同，有时同一个积分的结果不同.16例6求下列不定积分:1705年的考研题解1:原式解2:令18解：利用凑微分法,原式=令得19解:原式=前式令;后式配元20解法1:令解法2:令则该法适用

5、于含的偶次幂解法3:21解:技巧：化分母为单项式.另解:22解法1解法223解:原式分母次数较高,宜使用倒代换.解:令则,故令如何？24解方法1(先分部,再换元)令则方法2(先换元,再分部)令则故25解:取说明:此法特别适用于如下类型的积分:26多次分部积分的规律快速计算表格:特别:当u为n次多项式时,计算大为简便.27