考研数学 D3考研基础班.ppt

《考研数学 D3考研基础班.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、二、洛比达法则及其应用一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章三、导数应用---研究曲线的性态1罗尔定理拉格朗日定理柯西定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理2其中余项当时为麦克劳林公式.泰勒中值定理阶的导数,时,有公式则当3拉格朗日中值定理2.微分中值定理之间的相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理4(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数经验1:欲证时只需证在上3.微分中值定理的主要应用利用中值定理证明不等式的步骤:(3)根据a＜ξ＜b的关系,证明出不等式.(2)利用中

2、值定理,(1)设出辅助函数和区间，经验2：经验3：欲证（1）设函数（2）验证函数在区间上满足罗尔定理.研究函数或导数的性态—导数的应用及求不定式的极限54.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,有时也可考虑对导数用中值定理.6例1.设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:问

3、题转化为证设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至使即有少存在一点7例2.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.8保号性定理例3.设在区间上连续,且试证存在使证:不妨设必有使故保号性定理必有使故又在上连续,由零点定理知,存在使9例4.试证存在证:欲证因f(x)在[a,b]上满足拉氏中值定理条件,故有将①代入②,化简得故有①②即要证10思考：已知函数内可导,且证:(1)令故存在使即(2005考研）(2)根据拉格朗日中值定理,使11例5.证明等式证:设由推论可知(常数)

4、令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:12例6.证明不等式证:设中值定理条件,即因为所以因此应有13例7.设函数在上二阶可导,且证明证:由泰勒公式得两式相减得14存在(或为)定理1.(洛必达法则)推论1.定理1中换为之一,推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.二、洛比达法则及其应用15存在(或为∞)定理2.(洛必达法则)说明:定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.16洛必达法则适用于：17例1.解:例2.解:18注意：1)条件充分但不必要.洛必达法则的使用条件若例如,极限不存在也不是无穷大2)对

5、有些极限失效对数列极限失效.对不存在时失效.19有时出现循环，这时罗比达法则失效.如：事实上：有时会越用越复杂，这时不必用罗比达法则.如：203)对数列极限的未定式，若想用洛必达法则，应先用以下定理4)想用洛必达法则之前应先（1）检查极限的类型是否为（2）结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四则法则、变量代换等用罗比达法则时必须检验是否为未定式.注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.常用的有等价无穷小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等.21例3.求分析:为用洛必达法则,必须改

6、求法1用洛必达法则但对本题用此法计算很繁!法2原式幂函数及指数函数均为无穷大量.但它们趋于无穷大的“快慢”程度不一样.三者相比，函数最快，幂函数次之，对数函数最慢.指数对数函数时，当22例4.求解法1利用中值定理求极限原式解法2利用洛必达法则原式23解法3利用泰勒公式令则原式24练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是（）251.研究函数的性态:单调性,极值,凹凸性,拐点,渐近线,曲率.2.解决最值问题目标函数的建立与简化，最值的判别问题.3.其他应用:几何应用;证明不等式;研究方程实根等.三、导数应用---研究曲线的性态261.利用导

7、数的符号判断函数的单调性，求单调区间.说明：（2）单调区间应首先为连续区间.（1）定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.①求的定义区间，②求③求导数等于零的点和不可导点，④用以上的点分割定义区间，列表判断.（3）求单调区间(判断单调性)的步骤:在I上单调递增在I上单调递减定理化为积商定理27定义:(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.问：极值点是连续点吗？设内有定义，2.利用导数求函数的极值.28注意：极值与最值的区别：是对整个区间而言，绝对的、极值：最值

8、：是对某个点的邻域而言、可以不是唯一的.③极大值不一定都大于极小值.如何求极值？观察图形知：可导函数极值点的导数是零.是整体的、唯一的.是局部的、相对的、②最值可在区间端点处取得，而极值只能在