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1、二、洛比达法则及其应用一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用第三章三、导数应用---研究曲线的性态1存在(或为)定理1.(洛必达法则)推论1.定理1中换为之一,推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.二、洛比达法则及其应用2存在(或为∞)定理2.(洛必达法则)说明:定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.3洛必达法则适用于：4例1.解:例2.解:5注意：1)条件充分但不必要.洛必达法则的使用条件.例如,极限不存在也不是无穷大2)对有些极限失效对数列极限失效.对不存在时失
2、效.6有时出现循环，这时罗比达法则失效.如：事实上：有时会越用越复杂，这时不必用罗比达法则.如：73)对数列极限的未定式,若想用洛必达法则,应先用以下定理:4)想用洛必达法则之前应先(1)检查极限的类型是否为(2)结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四则法则、变量代换等.注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.常用的有等价无穷小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等.8例3.求分析:为用洛必达法则,必须改求法1:用洛必达法则但对本题用此法计算很繁!法2:原式
3、幂函数及指数函数均为无穷大量.但它们趋于无穷大的“快慢”程度不一样.三者相比，函数最快，幂函数次之，对数函数最慢.指数对数函数时，当9练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是（）10111.研究函数的性态:单调性,极值,凹凸性,拐点,渐近线,曲率.2.解决最值问题目标函数的建立与简化，最值的判别问题.3.其他应用:几何应用;证明不等式;研究方程实根等.三、导数应用---研究曲线的性态121.利用导数的符号判断函数的单调性，求单调区间.说明：(2)单调区间应首先为连续区间.(1)定理中的区间换成其它有限或无限区
4、间，结论仍然成立.①求的连续区间，②求③求导数等于零的点和不可导点，④用以上的点分割定义区间，列表判断.(3)求单调区间(判断单调性)的步骤:化为积商，在I上单调递增在I上单调递减定理:13定义:(1)则称为的极大点,称为函数的极大值;(2)则称为的极小点,称为函数的极小值.极大点与极小点统称为极值点.问：极值点是连续点吗？设内有定义，2.利用导数求函数的极值.注意：①极值与最值的区别：是对整个区间而言，绝对的、极值：最值：是对某个点的邻域而言、可以不是唯一的.极大值不一定都大于极小值.是整体的、唯一的.是局部
5、的、相对的、②最值可在区间端点处取得,而极值只能在区间的内点处取得.xyo.。14定理1(必要条件)(费马定理)取得极值注意：1)可导函数的极值点驻点如：是驻点，但不是极值点.xyo即：｛可导函数的极值点｝｛驻点｝2)在点连续但不可导，也可能是极值点.如：连续不可导，却是极小值点.在处连续不可导，也不是极值点.3)极值点的可疑点：（在定义域内部的）驻点,不可导点.即：｛极值点｝｛驻点，不可导点｝问：如何能快速的说明一个函数没有极值？15定理2(第一充分条件，极值第一判别法)且在去心邻域内有导数,(1)“左正右负
6、”,不是极值点.说明：1)定理中的条件“连续”很重要，若不连续，即使变号，但未必是极值点.2)该定理适用于是驻点或不可导的连续点.(2)“左负右正”,(3)“左右符号相同”,xyo.。163)求极值的步骤:(1)求定义区间，求导数(2)求驻点(即方程的根)以及不可导点；(3)检查在驻点及不可导点左右的正负号，判断出极值点；(最好列表)(4)求极值.定理3(极值第二判别法)二阶导数,且则在点取极大值;则在点取极小值.173.连续函数最值的求法:★(2)★特别:当大(小)值就是最大(小)值.求如果在区间内可导且只有
7、一个极值点,则这个极181)定义：(1)若恒有(2)若恒有说明：曲线：凹（凸）弧：凹凸区间.4.利用导数的符号判断函数的凹凸性，求拐点.切线上的纵坐标凸函数的函数值弦上的纵坐标.凸弧:19+–2)凹凸性的判定定理：注意：函数的凹凸区间应首先为它的连续区间.(1)定义:注意1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.3)曲线的拐点及其求法：注意2:拐点是曲线上的点,是一对有序的实数.注意3:拐点的横坐标是连续区间内的点,不可能是区间的端点.注意4:拐点的横坐标的可疑点：20(2)求拐点方法:或在处二阶不可导.若在的两侧异
8、号，则点为拐点.若在的两侧不变号，拐点.则点不是设函数的邻域内二阶可导，方法2:方法1:(3)求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：求函数的连续区间；求出求的根及不存在的根；列表判断21为曲线的拐点（不是极值点）为的极值点（不是拐点）定理4(判别法的推广)：设在内具有阶连续导数且但为奇数，则为偶数，则是极小点;是极大点.思考：为的极值点时，会不会是拐点？22曲线弯曲程度的描述—
