《D10考研基础班》PPT课件

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1、第十章复习课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲面积分1定积分:二重积分:三重积分:2显然3(一)曲线积分的概念、性质与计算方法(二)格林公式及其应用一、曲线积分的计算法(三)线积分的应用4（一）曲线积分的概念、性质与计算方法(1)定义:1.对弧长的曲线积分的概念、性质及计算方法说明：1)存在条件：当f(x,y)在L上连续时,2)物理意义：3)几何意义：特别地：4)推广:zxyo5例如.求两个底半径相同的直交圆柱所围立体的表面积.解:如图,由第一类

2、曲线积分的几何意义知:oxyzR其中在第一象限的部分.6(2)性质4)无向性：对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.即72)积分弧段L的方程为：则3)积分弧段L的方程为：则(3)第一类曲线积分的计算方法(直接法)----三代一定推广:设空间曲线弧的参数方程为则82.对坐标的曲线积分的概念、性质及计算方法(1)定义:常用组合形式:记作由实例和定义知:9说明：1)存在条件：在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分2)特殊路径情况:则故定积分是第二类曲线积分的特例.3)推广:10(2)性质则即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.回忆定积分：故定积分是第

3、二类曲线积分的特例.1112例.设曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N,为L上(B)(C)(D)具有一阶连续偏导数),(A)则下列小于零的是()从点M到点N的一段弧，B2007研数一13(3)第二类曲线积分的计算方法(直接法)----二代一定2)曲线弧L的方程为：则3)曲线弧L的方程为：则4)推广则143.两类曲线积分之间的联系15解:ox1-22y例1.分析:若需要分段计算,较复杂.注意到：Ｌ关于x轴对称,被积函数关于y是奇函数.★计算第一类曲线积分的简化方法：1)利用第一类曲线积分的几何意义.2)利用第一类曲线积分的对称性.3

4、)利用第一类曲线积分的积分弧段的方程化简被积函数.4.典型例题及解答16注：第一类曲线积分的对称性LL1OyxLL2Oxy17例2.解:对于用一般方程表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方程化为参数方程，这个过程一般是比较困难的，在特殊情况下可用特殊方法处理.要计算函数对弧长的18(09数学一)例3.解:xyzO19提示:原式=说明:1)若用参数方程计算,2)若用参数方程：例4.计算其中L为圆周20例5.计算其中L为沿抛物线解法1:化为对x的定积分,则解法2:化为对y的定积分，则从点的一段.此例说明对坐标的曲线积分的对称性，还应考虑L的方向

5、，故不好用.21(11年数学一,填空题)解:22（二）格林公式及其应用其中L是D的正向边界曲线(有向性).D是有界闭区域(封在D上有一阶连续偏导数(连续性).闭性),1.格林公式：(1)格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广，区域上的二重积分与区域边界上的线积分的联系.沟通了注意：(2)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有:(3)对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向232.格林公式的应用：(2)简化计算曲线积分.(1)利用曲线积分计算平面图形的面积.闭区域D的面积(3)

6、平面上曲线积分与路径无关的等价条件.(4)二元函数的全微分求积.24说明：与路径无关的四个等价命题条件等价命题(1)在G内(2)在G内存在(3)在G内，(4)在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题等价.1)四个等价命题25选择新路径应注意：3)一般选与坐标轴平行的新路径.1)新路径的起点与终点不变,2)26闭合非闭闭合非闭补充曲线后用格林公式或直接计算(注意条件)27例1.L为由点(a,0)到(0,0)的上半圆周解:L如图，D添加辅助线：282.注意定理使用的条件:说明：有向性；连续性；封闭性.(0

7、8数学一)(10数学一)29例2.的分段光滑的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向.xyoL解:记L所围的闭区域为D，令由格林公式知，其中L为一无重点且不过原点30yxo注意格林公式的条件:作位于D内圆周且l的方向取逆时针方向.应用格林公式,得有31解：例3.计算为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线其中L因为则在平面上成立.32选择如图所示的路径选择新路径应注意：3)一般选与坐标轴平行的新路径.1)新路径的起点与终点不变,2)33例4.验证：在整个xoy平面内，是某个函数的全微分，并求出它的一个原函数.解：这里则在整个xoy平面内有：于是

8、在整个xoy平面(它是一个单连通区域)内，是某个函数的全微分，由公式线积分法34另解：则所求的函数为：事实上：偏积分法观察法例4.验证：在整个xoy平面内，是某个函数的全微分，并求出它的一个原