信号与系统 教学课件 作者 杨育霞 第05章.ppt

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1、第5章连续时间信号与系统的复频域分析5.1连续时间信号的拉普拉斯变换5.2拉普拉斯变换的基本性质5.3拉普拉斯逆变换5.4应用拉普拉斯变换分析线性电路5.5系统函数5.6系统的稳定性5.7系统的频率响应5.8用MATLAB进行连续时间信号与系统的复频域分析利用拉普拉斯变换可以将系统在时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算量大大减少。利用拉氏变换还可以将时域中两个信号的卷积运算转换为s域中的乘法运算。在此基础上建立了线性时不变电路s域分析的运算法，为线性系统的分析提供了便利。同时还引出了系统函数

2、的概念。5.1连续时间信号的拉普拉斯变换5.1.1拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换2.单边拉普拉斯变换5.1.2常用信号的拉氏变换及收敛域1.常用信号的拉氏变换（1）阶跃函数（2）单位冲激信号（3）指数函数2.单边拉氏变换的收敛域如图5.1所示的复平面称为s平面，水平轴称为σ轴，垂直轴称为jω轴，σ=σ0称为收敛坐标，通过σ=σ0的垂直线是收敛域的边界称为收敛轴。对于单边拉氏变换，其收敛域位于收敛轴的右边。图5.1单边拉普拉斯变换的收敛域5.2拉普拉斯变换的基本性质在本节中，将看到，在掌握了拉氏变换的基本性质和定理之后，可以方便求得信号

3、的拉氏变换。5.2.1线性5.2.2时移特性5.2.3s域平移特性5.2.4尺度变换5.2.5时域微分5.2.6时域积分5.2.7时域卷积定理5.3拉普拉斯逆变换在用拉普拉斯变换的方法分析电路问题时，一般来讲它包括三个步骤：首先对微分方程进行拉氏变换成为代数方程，然后解此代数方程得到所求未知函数的拉氏变换F(s)，最后求F(s)的逆变换。5.3.1直接计算法逆拉普拉斯变换是从s域函数求出对应的时域函数。5.3.2部分分式展开法如果能把X(s)展开为一些逆变换已知的函数的和，如X(s)=X1(s)+X2(s)+X3(s)则根据线性性质，X(s)

4、的逆变换为x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)这种求解逆变换的方法称为部分分式展开法。1.极点为实数，无重根2.极点为共轭复数3.具有多重极点5.4应用拉普拉斯变换分析线性电路拉普拉斯变换在线性电路的分析与设计中占有相当重要的地位，利用拉普拉斯变换方法分析电路称为电路的复频域分析或s域分析。电路的某些特性在s域中分析较为方便。当电路中含有冲激电压或电流时，用拉普拉斯变换法分析要比时域分析方便。由于s域电路方程为代数方程，因而电路设计常常在s域中进行。此外，电路的频率响应特性也常常借助于s域函数进行分析。5.4.1应用拉普拉斯变换求解微

5、分方程当电路或系统的输入输出微分方程已知时，可直接对微分方程应用单边拉普拉斯变换，利用时域微分性质求出s域输出Y(s)，对其取逆变换得到时域解y(t)。从该例可看出，用拉普拉斯变换法求解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输出及其导数，并且可直接得到全响应。通过上例可以看到，利用拉普拉斯变换可以避开烦琐的求解微分方程的过程。特别是对于高阶微分方程，拉氏变换法可以使计算量大大减小。5.4.2电路元件的复频域模型对于比较复杂的网络（支路或结点较多），列写微分方程本身也是一件烦琐的事情。对于线性时不变电路，可不必列写微分方程，直接把时域的电路模型转

6、换为s域电路模型，在s域内写出电路的代数方程形式，然后进行求解。1.电路元件的s域串联模型图5.3元件s域模型（串联形式）2.电路元件的s域并联模型图5.4元件的s域模型（并联模式）把电路中的每个元件都用它的s域模型来代替，将信号用其变换式代替，于是就得到该电路的s域模型图。对此模型利用KVL和KCL分析可以得到所需求解的变换式，这样就用代数运算代替了求解微分方程。5.4.3线性电路的复频域分析使用复频域分析法分析线性电路的过程为：（1）求解电容的初始电压和电感的初始电流；（2）给出电路的复频域模型；（3）建立复频域电路的代数方程并求解；（4

7、）对输出量的复频域函数取逆变换。5.5系统函数5.5.1系统函数的定义1.定义线性时不变系统的系统函数H(s)可定义为系统的零状态响应y(t)的拉氏变换Y(s)与系统激励x(t)的拉氏变换X(s)之比。系统函数也称为网络函数。在系统分析中，由于激励与响应信号可以是电压，也可以是电流，因此系统函数可以是阻抗（电压除以电流）或导纳（电流除以电压），也可以是数值比（电压除以电压或电流除以电流）。此外，当系统为一个二端网络，激励与响应在同一端口，如图5.7(a)中的Ui(s)与Ii(s)，则系统函数称为策动点函数或驱动点函数。若系统为一个四端网络，激

8、励与响应不在同一端口，如图5.7(b)中的Ui(s)［或Ii(s)］与Uo(s)［或Io(s)］，则此系统函数称为转移函数或传输函数。由此可知，策动点函数可能是阻抗