数学中的巧算1——特殊数.doc

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1、1.特殊数题(1)21－12　　当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。　　因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。　　被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如　　210－120＝(2－1)×90＝90，　　0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。(2)31×51　　个位数字都是1，十位数字的和小于10

2、的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。　　　　若十位数字的和满10，进1。如　　　　证明：(10a＋1)(10b＋1)　　＝100ab＋10a＋10b＋1　　＝100ab＋10(a＋b)＋1　　(3)26×8642×62　　　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。证明：(10a＋c)(10b＋c)　　＝100ab＋10c(a＋b)＋cc　　＝100(ab＋c)＋cc(a＋b＝10)。(4)17×19　　十几乘以十几，任

3、意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。　　原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323证明：(10＋a)(10＋b)　　＝100＋10a＋10b＋ab　　＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。(5)63×69　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。　　原式＝(63＋9)×6×10＋3×9　　＝72×60＋27＝4347。证明：(10a＋c)(10a＋d)　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd　　＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。(6)83×87　　十位数字相同，个位数

4、字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如证明：(10a＋c)(10a＋d)　　=100aa＋10a(c＋d)＋cd　　＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。(7)38×22　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。　　原式＝(30＋8)×(30－8)　　＝302－82＝836。　　(8)88×37　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。　　(9)3

5、6×15　　乘数是15的两位数相乘。　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。　　＝54×10＝540。　　55×15　　(10)125×101　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。　　原式＝12625。　　再如348×101，因为348＋3＝351，　　原式＝35148。(11)84×49　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。　　原式＝8400÷2－84　　＝4200－84＝4116。(12)85×99　　两位数

6、乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。　　原式＝8500－85＝8415　　　　　　　不难看出这类题的积：　　最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差；　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则　　　　　如果被乘数的个位数是1，例如　　31×999　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。　　71×9999＝709999－70＝709929。　　这是因为任何一个末位为1的两

7、位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为　　(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。(13)1÷19　　这是一道颇为繁复的计算题。　　原式＝0.052631578947368421。　　根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。　　原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：　　(1)先用0.1÷2＝0.05。　　(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除　　如此除到循环为止。　　　　　　　仔细分析这个

8、算式：　　加号前面的0.05是0.1÷