高等数学下册 教学课件 作者 蒋国强第8章D8_1基本概念.ppt

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1、推广第八章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分法及其应用机动目录上页下页返回结束第八章第一节二、区域一、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性多元函数的基本概念机动目录上页下页返回结束一、多元函数的概念1.定义：设有变量x、y和z，如果当变量x、y在一定范围内任意取定一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一确定的数值与它们对应，则称这个对应法则f为x、y的二元函数。变量x、y称为自变量。自变量x、y取值的范围称为函数的定义域。记作同理可定义x、y、z的三元函数。主要以二元函数为例研究多元函数。机动目录上页下页返回结束二

2、元函数的两个要素：对应法则f定义域D例1.求下列函数的定义域（1）定义域Dxyo（2）定义域Dxyo解：解：机动目录上页下页返回结束xyo（3）定义域D解：机动目录上页下页返回结束例2.设，且当时，，求函数z。解：将，代入，得例3.设，求解：机动目录上页下页返回结束2.二元函数的几何意义定义域为圆域一般情形:二元函数图形是球心在原点的上半球面.的图形为空间曲面.定义域为整个xy面z=f(x,y),(x,y)D机动目录上页下页返回结束二、区域1.区域由一条闭曲线或几条闭曲线围成的平面上一部分称为一个平面区域。二元函数的定义域是一个平面区域。围成区域的曲线称为

3、区域的边界。不包括边界的区域称为开区域；包括边界的区域称为闭区域。如果区域能够被原点为中心，适当大的数为半径的圆包含在内，则称区域为有界区域；否则为无界区域。机动目录上页下页返回结束2.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为机动目录上页下页返回结束三、二元函数的极限定义2.设二元函数为定义域内一点,则称常数A为函数记作的定义域为D，当点以任意方式无限接近于时，相应的函数值如果无限接近于一个确定的常数A，当时的极限，或任意方式任意方向任意路径机动目录上页下页返回结束解:原式例4.求机动目录

4、上页下页返回结束例5.设，求故解:当时，有（有界函数与无穷小的乘积仍然是无穷小）机动目录上页下页返回结束注意：当点趋于不同值或有的极限不解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.存在，则可以断定二元函数极限不存在。则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以两种不同方式趋于例6.讨论函数函数机动目录上页下页返回结束四、二元函数的连续性定义3.设二元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数连续.连续,机动目录上页下页返回结束例如,函数在点(0,0)极限不存

5、在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.机动目录上页下页返回结束定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的(证明略)如下性质:机动目录上页下页返回结束例7.求函数的连续域.解:机动目录上页下页返回结束内容小结1.区域2.多元函数概念常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动目录上页下页返回结束3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值

6、定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续机动目录上页下页返回结束作业P471，3(1，2)，4(1,3,4),5(1)第二节目录上页下页返回结束