几何与代数_lec7-可逆矩阵.ppt

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1、几何与代数主讲:关秀翠东南大学数学系2010年国家级精品课程教学内容和学时分配第二章矩阵教学内容学时数§2.1矩阵的代数运算2§2.2可逆矩阵2§2.3分块矩阵1§2.4矩阵的秩1§2.5初等矩阵2§2.6用Matlab解题1mn矩阵n阶行列式定义加法数乘乘法符号思考题：行列式与矩阵的区别mn矩阵n阶行列式定义加法数乘乘法符号行列式与矩阵的区别

2、

3、,初等变换时用=[]或(),初等变换时用5问题式预习提纲2.如何计算一个可逆矩阵的逆矩阵？1.如何判断一个矩阵是否可逆？在解方程ax=b的时候,如果a0,等式两边同乘以a-1,得

4、x=a-1b.线性方程组Ax=b,能否在一定条件下引进A-1的概念,使得解为x=A-1b?由a-1a=1想到A-1A=E.但矩阵乘法不满足交换律，AA-1=E？问题1:A应是什么矩阵?如何定义A-1?A应是方阵.A-1A=AA-1=E.§2.2可逆矩阵一.可逆矩阵1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.注1.可逆矩阵只是定义在n阶方阵上的.第二章矩阵§2.2可逆矩阵注2.定义中矩阵A与B的地位是相同的,如果A可逆,且B是A的逆,则B也可逆,且A也是B的逆,即A与B互逆.问题2:你学过

5、的方阵中,哪些是可逆阵?问题2:你学过的方阵中,哪些是可逆阵?1.E-1=E2.当k1k2…kn≠0时,有:1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.问题3:逆矩阵是唯一的吗?一.可逆矩阵1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.注1.逆矩阵只是定义在n阶方阵上的.第二章矩阵§2.2可逆矩阵注2.A与B互为逆矩阵.事实上,若AB=BA=E,AC=CA=E,则B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为A1.

6、注3.若方阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的.结合律妙用之二问题2:你学过的方阵中,哪些是可逆阵?1.E-1=E2.当k1k2…kn≠0时,有:1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.问:4:可逆阵是什么样的方阵呢?A0？

7、A

8、

9、B

10、=

11、E

12、

13、A

14、

15、B

16、=1

17、A

18、0若A可逆,则

19、A

20、0.问题5：反之，若

21、A

22、0，则A一定可逆吗？只需验证

23、A

24、0时，是否存在方阵B满足AB=BA=E.02.方阵A的伴随矩阵引理2.1.设A为方阵,则AA*=A*A=

25、A

26、E.同理，验证

27、A

28、0时

29、是否存在方阵B满足AB=BA=E.A*=A11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann第二章矩阵§2.2可逆矩阵2.方阵A的伴随矩阵引理2.1.设A为方阵,则AA*=A*A=

30、A

31、E.A*=A11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann第二章矩阵§2.2可逆矩阵若A可逆,则

32、A

33、0.

34、A

35、

36、B

37、=

38、E

39、=1定理2.2.方阵A可逆的充分必要条件是

40、A

41、0.当n2,

42、A

43、0时,有A1=

44、A

45、1A*.例1.求下列方阵的逆矩阵.(1)A=1234,123221343(2)B=.解:(1

46、)A1=

47、A

48、1A*=21.(2)

49、B

50、=20,B1=

51、B

52、1B*B11=(1)1+12143=2,B21=6,B22=6,B23=2,B31=4,B32=5,B33=2.232=21.B12=3,B13=2,4231452662A1=

53、A

54、1A*.当n2,

55、A

56、0时,有主换位,副变号第二章矩阵§2.2可逆矩阵定理2.2.方阵A可逆的充分必要条件是

57、A

58、0.当n2,

59、A

60、0时,有A1=

61、A

62、1A*.引理2.1.设A为方阵,则AA*=A*A=

63、A

64、E.2.方阵A的伴随矩阵推论.设A,B为方

65、阵,若AB=E(或BA=E),则B=A1.推论的作用.若A,B为方阵,只需检查AB=E或BA=E,即可判别A的可逆性.问题6:若A32B23=E，则A或B可逆吗?第二章矩阵§2.2可逆矩阵定理2.2.方阵A可逆的充分必要条件是

66、A

67、0.当n2,

68、A

69、0时,有A1=

70、A

71、1A*.推论.设A,B为方阵,若AB=E(或BA=E),则B=A1.1.定义:设A为方阵,若存在方阵B,使得AB=BA=E.则称A可逆,并称B为A的逆矩阵.A为方阵,若

72、A

73、=0,则称之为奇异(或退化)矩阵.若

74、A

75、0,则称之为非奇异(或非退化)矩

76、阵.可见,A可逆

77、A

78、0A非奇异(非退化).singular第二章矩阵§2.2可逆矩阵定理2.2.方阵A可逆的充分必要条件是

79、A

80、0.当n2,

81、A

82、0时,有A1=

83、A

84、1A*.推论.设A,B为方阵,若AB=E(或BA=E),则B=A