几何与代数_lec8-分块矩阵和矩阵的秩.ppt

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1、几何与代数主讲:关秀翠东南大学数学系2010年国家级精品课程教学内容和学时分配第二章矩阵教学内容学时数§2.1矩阵的代数运算2§2.2可逆矩阵2§2.3分块矩阵1§2.4矩阵的秩1§2.5初等矩阵2§2.6用Matlab解题1思考题：（学会归纳总结）矩阵上的哪些运算是只定义在方阵上的？矩阵乘积的交换律一般情况下不成立，但有一些特殊情况是成立的，此时称A,B是可交换的。请列举出矩阵乘积可交换的情况。方阵A可逆的充要条件有哪些？1.方阵的正整数幂只定义在n阶方阵上的运算A可逆

2、A

3、04.伴随矩阵5.可逆矩阵A2=AA,Ak+1=AkA3.行列式2

4、.对称矩阵AT=A数量矩阵En单位矩阵En

5、A

6、:Rn×nR对角矩阵(iij)1.方阵的正整数幂乘积可交换的运算4.伴随矩阵5.可逆矩阵AkAl=AlAk3.行列式数量矩阵En单位矩阵En(aEm)Am×n=Am×n(aEn)2.对角矩阵(iij)=(A,B为方阵.)(方阵A可逆)A为非奇异阵、非退化阵思考题：（学会归纳总结）方阵A可逆的充要条件有哪些？问题式预习1.分块乘积、分块转置需要注意什么？2.如何求解矩阵方程AX=B？3.矩阵的秩反应了矩阵的什么本质特征？§2.3分块矩阵一.矩阵的分块在矩阵的某些行之间

7、插一些横线，在某些列之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块。A21B11§2.3分块矩阵一.矩阵的分块在矩阵的某些行之间插一些横线，在某些列之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块。A1A2122处理有特点的大矩阵时需要进行分块分法:将矩阵用纵线和横线分成若干小矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的子块.定义以子块为元素的矩阵称为分块阵.矩阵分块的三个原则:体现原矩阵特点.根据问题需要.能够把子块看作元素进行运算.§2.3分块矩阵一.矩阵的分块第二章矩阵§2.3分块矩阵三种特殊的分块方法设A为m×n矩阵,记Aj为A的第j列,i为A的第i行(j=1,…,n,

8、i=1,…,m),则有如下两种重要的分块方法A=(A1,A2,…,An),12…mA=其中A1,A2,…,As都是方阵,则称A为分块对角阵(或准对角矩阵).A=A1O…OOA2…O…………OO…As,二.分块矩阵的运算分块加法设矩阵A与B是同型的,采用相同的分块法分块将A与B分块如下第二章矩阵§2.3分块矩阵A=A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr,B=B11B12…B1rB21B22…B2r…………Bs1Bs2…Bsr,A11+B11A12+B12…A1r+B1rA21+B21A22+B22…A2r+B2r

9、…………As1+Bs1As2+Bs2…Asr+Bsr.A+B=二.分块矩阵的运算分块加法设矩阵A与B是同型的,采用相同的分块法分块将A与B分块如下第二章矩阵§2.3分块矩阵2.分块数乘第二章矩阵§2.3分块矩阵设矩阵A=A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr,为常数.A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr.则A=3.分块乘法设A为ml矩阵,B为ln矩阵,将它们分块如下A的列的分法与B的行的分法相同.(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)第二章矩阵§2.3分

10、块矩阵A=A11A12…A1tA21A22…A2t…………As1As2…Ast,B=B11B12…B1rB21B22…B2r…………Bt1Bt2…Btr,C11C12…C1rC21C22…C2r…………Cs1Cs2…Csr,其中Cij=AikBkj,则AB=k=1t例1求AB:解1：60直接运算量：分块运算量：子块运算量：将矩阵分块作乘法其分法不是唯一的.只要前一矩阵列的分法与后一矩阵行的分法一致在例1中例1求AB:解2：不是分块对角阵分块运算量：子块运算量：其中Ai,Bi都是同阶方阵，i=1,2,…,s.分块对角矩阵的乘法第二章矩阵§2.3

11、分块矩阵设A=A10…00A2…0…………00…As,B=B10…00B2…0…………00…Bs,则AB=A1B10…00A2B2…0………………00……AsBs.4.分块转置4.分块转置4.分块转置分外层内层双重转置AT=(A1,A2,…,An)T=(1T,2T,…,mT).=T注意!第二章矩阵§2.3分块矩阵设矩阵A=A11A12…A1rA21A22…A2r…………As1As2…Asr,A11TA21T…As1TA12TA22T…As2T…………A1rTA2rT…AsrT.则AT=A1TA2T…AnT12…mAT=三.分块矩阵的应

12、用线性方程组的表示形式三.分块矩阵的应用线性方程组的表示形式之一如何解多个系数矩阵都为A的方程组？AX1=B1AX2=B2AXs=B