数列问题与函数问题的转化.pdf

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1、万方数据第21卷第2期2006年6月邢台学院学报joURNALoFXⅨ凹虹UNⅣERsHlYV01．21．No．2Jun．2006数列问题与函数问题的转化马建珍(邢台学院，河北邢台054001)摘要：探讨在高等数学中函数极限、极值、函数项级数、函数不等式与相应的数列极限、极值、数项级数、数列不等式之间的转化，并介绍与之相关的常见题型及解题思路关键词：数列问题；函数问题；转化中图分类号：017文献标识码：A文章编号：1672-4658(2006)02-0096—03在高等数学中，微积分理论部分主要研究对象是函数，而数列是一类特殊的函数，但数列问题与函数问题

2、的解决方法不尽相同，二者之间有着密切的联系．1数列极限与函数极限的转化例1．1证明：若函数，(菇)在开区间(Ⅱ，b)单调增加且有界，则极限z溉以茗)与矗毋厂(茹)都存在．证：先证极限跏f(x)存在．廿_+6一在开区间(D，b)内任取一个单调增加数列{b。}：b。≤6：≤⋯s6。冬⋯且lirab。=b，已知，(菇)在开区间(Ⅱ，b)单调增加，又有上界，则爪b。)取6：)s⋯颈6。)≤⋯又

3、M>o，Vn∈N，有八6。)≤M于是，数列{f(6。)}单调增加有上界．根据公理，数列{，(b。)}收敛．设lirab。=B(往证limf(x)=B)即V占>O，

4、N，V

5、n>N有曰一8<，(b。)O，或b-8=bⅣ，V菇：b一6=b．Iv<戈<6，jb。>b．v，使b一艿=bⅣ<茹≤6。

6、i-1，上tl,]中取￡2音(右端点)，那么八靠)=÷于是1J-—L您铲熟(击+而1”·+熹)2您÷c士+忐”‘+壶，：加羔上．上”⋯一1▲上71=尼i鬲1也=[Inll+茹ll=凇从而lirax。=／n2故数列{‰}收敛．证法二：戈。+l一菇。122—n—+l+乏莉一而l2瓦万—2一n+21<。J

7、7300840·96·万方数据马建珍：数列问题与函数问题的转化一些看似是关于函数极限的问题，常常可转化为数列极限来讨论．因海涅定理是沟通函数极限与数列极限的桥梁．利用定积分的定义来求极限是一种很特殊的求极限的方法，类似例1．2的这类极限通常可化为某一特定结构的和式的极限，进而转化为某一函数在区间[0，1]上的定积分；也可通过讨论相应的函数项级数的收敛性，使函数极限问题得到解决．2数列极值与函数极值的转化例2．1求数列{石}的最大项．解：设，(茁)=石(髫>o)，贝师=，(n)，(n∈Ⅳ)厂(％)=X7以(1一h)，令厂(％)=O得茹=e．当0<茗

8、(搿)>O以搿)f，当e<茹时／(搿)

9、寻旦一一1寻立2n竺2n一12n皇tn+1一旦寻￡一一1寻芝2。。曼肛一12x。兰n+1：旦寻￡一上等￡2n"2=tn2xn=3n=乞垂。譬一丢(。垂。等一菇一手)=一号胁(1一戈)+丢xln(1一菇)+÷+÷，(⋯<1，且x#O)令茹=÷则黑石墨面=s(÷)=÷一÷抛．例3．2求级数∑．素的和．∞1．．解：由于∑菇“=—一一1=#L，(一1<茹<1)．所以Ⅱ=l1一茹上器西嚣西÷乩13也可按通常的思路来求解，即先求S。，再求一lira。s。·但显然上述解法更简捷．例33．3求级数量L土上卿的和．例．求级数∑．L型上爿}型的和．n2u，解：rt曼=0盟掣

10、=黑咖-1)(一手H。曼(一丁1I．I)“n2‘二n2二=黑咖-1)(一手卜手设