数列与函数结合的综合问题.docx

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1、数列综合问题之数列与函数思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。一、利用具体函数的解析式得递推关系例1：已知函数f(x)x2a(b,cN)中，f(0)0,f(2)2,f(2)1，bxc2（1）求函数f(x)的解析式；（2）各项均不为零的数列{an}满足：4Sngf(1)1，求通项an？（3）在an条件（2）下，令bn2n，求数列b的前n项和？angn分析：由题知：a0,bc2，所以f(x)x2，所以可求得：2x22Snanan2(anan1)g(an1an1)0ann例3：函数f(x)x2

2、2x2,x2,；（1）求f(x)的反函数f1(x)；（2）数列an满足：Snf1(Sn1)，且a12，求数列an的通项公式；（3）在条件（2）下，令bnan21an2(nN*)，求2an1gan数列b的前n项和？n分析：（1）由题知：12snsn12an4n2f(x)(x2),x0；（）2（3）bnan21an2(an1an)22an1an111)2an1gan2an1an(12n2n1例、设函数fx1，44x2(1)证明：对一切xR，f(x)+f(1-x)是常数；(2)记anf0f1f2......fn1f1,

3、nN，求nnnnan,并求出数列{a}的前n项和。解：∵fx1，∴fxf(1x)=114x24x241x241x24x21(4x2)(41x2)21af0f1f2......fn1f1,nNnnnnanf1n1fn2f21∴2an=n1f......ff0,nNnnnn2∴an=nn(11n1)1∴Sn=44=n(n3)428二、利用抽象函数的性质得递推关系：例1：f(x)是R上不恒为零的函数，且对任意a,bR都有：f(agb)af(b)bf(a)，（1）求f(0)与f(1)的值；（2）判断f(x)的奇偶性；（3

4、）若f(2)2，unf(2n),(nN*)，求数n列un的前n项和Sn？简析：（1）f(0)0,f(1)0；（2）f(1)f((1)2)f(1)f(1)f(1)0，再令a1,bx,f(x)1gf(x)xgf(1)f(x)，所以为奇函数；（2）当agb0时，f(ab)f(b)f(a)，令函数g(x)f(x)，所以有：abbaxg(ab)g(b)g(a)g(an)ngg(a)，所以有：g(an)f(an)n)angg(a)gnan1gngf(a)，得anf(an1n1f(2n)1nf(1)u1gf(1)；2gg2n2

5、22f(1)1f(2)f(1)11n1n又因为：f(1)，所以：un，Sn1。222222例2、已知函数fn(x)(nN)具有下列性质：fn(0)1,2nfnk1fnkfnk1fnk1(k0,1,,n1);nnnn2（1）当n一定，记ak1,求ak的表达式(k0,1,,n);kfnn（2）对nN,证明1fn(1)1.43解：（1）k1kkk1nfnnfnnfnn1fnn(n1)fnk1nfnkfnkfnk1,nnnn即n1kfnn(n1)akn1,又ak1,kkfn1fnnnnak11,n(ak11)(n1)(

6、akak1111，由n为定值，1)，即1nak则数列{ak1}是以a01为首项，11为公比的等比数列，nak1(a01)(11k，)nk由于a012,ak11(k0,1,,);fn(0)1nn（2）ak1,fn(1)11n，fnkan11n1n欲证1fn(1)1，43只需证明3111n4，n只需证明211n3,n(11)n1Cn11C221Cnn1nnn2nn112,(11)n1Cn11Cn21Cnn1nnn2nn11n(n1)n(n1)212n2n!nn31n121n11111211112312!n!2222n

7、3.1212例3：已知函数f(x)是定义在N*上的函数，且满足f(f(k))3k,f(1)2。设af(3n1)，b11且n有：bnlog3f(an)b1log3f(a1)；（1）求证：b1b2Lbnb3；f(a1)f(a2)f(an)4（2）若f(an1)an1bn1值范围。解：（1）由于anf(an2)f(a2n)f(a4n1)N*La2nb2nm对于任意的n1,n恒成立，求m的取an2bn2a4n1b4n1f(3n1)，所以有f(a)f(f(3n1))3g3n13n，也有：log3f(an)nn由：bnlo

8、g3f(an)b1log3f(a1)，得bnb1b2Lbn，也即有：n，令Snf(a2)f(an)f(a1)123Sn3323n（2）由n2Ln，由错位相减得出：Sn33f(f(k))3kf(f(f(k)))13)g113b3(n2n12Sn4234f(3k)3f(k)f(3k)，所以：an1f(3n)3f(3n1)3an，又因为a1f(30)f(1)20，所以an是