数列的综合问题.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10—数列的综合问题突破点(一)数列求和1．公式法与分化法：(1)公式法；(2)分化法；2．倒序相加法与并求和法：(1)倒序相加法；(2)并求和法：在一个数列的前n和中，可两两合求解，称之并求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋⋯＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋⋯＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋⋯＋(2＋1)＝5050.3．裂相消法：(1)把数列的通拆成两之差，在求和中的一些可以相互抵

2、消，从而求得其和．(2)常的裂技巧：①111.②1＋＝n－＋＋nn1n1nn211111111＝n－＋2.③＝2n－－2n＋1.④＝n＋1－n.4．位相减法2n2n－1＋121n＋n＋12n分化法求和[例1]已知数列{an}，{bn}足a1＝5，an＝2an－1＋3n－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an－3n(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通公式；(2)求数列{an}的前n和Sn.[解](1)∵an＝2an－1＋3n－1(n∈N*，n≥2)，∴an－3n＝2(an－1－3n－1)，∴bn＝2bn－1(n∈N*，n≥2)．∵b1＝a1－3＝2≠0，∴bn≠0(n≥2)，∴bn＝2，b

3、n－1∴{bn}是以2首，2公比的等比数列．∴n－1nbn＝2·2＝2.n＋1nnn2n2nn＋137(2)由(1)知an＝bn＋3＝2＋3，∴Sn＝(2＋2＋⋯＋2)＋(3＋3＋⋯＋3)＝2＋－.22[方法技巧]分化法求和的常型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．bn，n为奇数，(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．cn，n为偶数位相减法求和[例2](2016山·高考)已知数列{an}的前n和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.a

4、n＋1n＋1(1)求数列{bn}的通公式；(2)令cn＝bn＋2n，求数列{cn}的前n和Tn.[解](1)由意知，当n≥2，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，当n＝1，a1＝S1＝11，足上式，a1＝b1＋b2，11＝2b1＋d，所以an＝6n＋5.数列{bn}的公差d.由即所以bn＝3n＋1.a2＝b2＋b3，17＝2b1＋3d，6n＋6n＋1n＋1，又Tn＝c1＋c2＋⋯＋cn，(2)由(1)知cn＝3n＝3(n＋1)·23n＋得Tn＝3×[2×22＋3×23＋⋯＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋⋯＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×2

5、2＋23＋24＋⋯＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.[方法技巧]位相减法求和的策略1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在写“S”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“－qS”的表达式．(3)在应用错位相减法求nqSn1和不等于1两种情况求解．Snn和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于

6、裂相消法求和n＋1－2，数列{bn}是首a1，公差d(d≠0)的等差数列，且b1，[例3]数列{an}的前n和Sn＝2b3，b9成等比数列．(1)求数列{an}与{bn}的通公式；(2)若cn＝2(n∈N*)，求数列{cn}的前n和Tn.n＋1bn[解](1)当n≥2，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，又a1＝S1＝21＋1－2＝2＝21，也足上式，所以数列{an}的通公式an＝2n.则b1＝a1＝2.由b1，b3，b9成等比数列，得(2＋2d)2＝2×(2＋8d)，解得d＝0(舍去)或d＝2，所以数列{bn}的通公式bn＝2n.2111111(2)由(1)得cn＝＋＝＋＝n

7、－n＋1，所以数列{cn}的前n和Tn＝×＋×＋×＋⋯＋n1bnnn1122334×1＝1－1＋1－1＋⋯＋1－1＝1－1＝n.＋223n＋1n＋1n＋nn1n1突破点(二)数列的合用1.等差、等比数列相合的是高考考的重点，主要有：1合考等差数列与等比数列的定、通公式、前n和公式、等差比中、等差比数列的性；2重点考基本量即“知三求二”，解方程组的算以及灵活运用等差、等比数列的性解决.2.数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交命的自然性，是高考