《弹性力学》第五章 平面问题的复变函数法.ppt

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1、第五章平面问题的复变函数法1平面问题的复变函数法第五章平面问题的复变函数法直角坐标及极坐标求解平面问题，所涉及的物体边界是直线或圆弧形。对于其他一些边界，例如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不同的曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中的简单应用。2§5-4多连通域内应力与位移的单值条件§5-3边界条件的复变函数表示§5-2应力和位移的复变函数表示§5-1应力函数的复变函数表示§5-6含孔口的无限大板问题§5-5无限大多连体的情形平面问题的复变函数法第五章平面问题的复变函数法3§5-1应力函数的复变函数表示在第二

2、章中已经证明，在平面问题里，如果体力是常量，就一定存在一个应力函数φ，它是位置坐标的重调和函数，即现在，引入复变数z=x＋iy和z＝x－iy以代替实变数x和y。注意平面问题的复变函数法4可以得到变换式进而平面问题的复变函数法5令于是可将方程式变换成为由平面问题的复变函数法6可知，P是调和函数可由解析函数的实部得到。设f(z)为解析函数，可令由令得则平面问题的复变函数法7将上式对积分，得到再对z积分，得到令即则平面问题的复变函数法8注意上式左边的重调和函数φ是实函数，可见该式右边的四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭的，后两项也应是共轭的：令即得有名的古萨

3、公式也可以写成平面问题的复变函数法9于是可见，在常量体力的平面问题中，应力函数φ总可以用复变数z的两个解析函(z)和(z)来表示，称为K-M函数。而求解各个具体的平面问题，可归结为适当地选择这两个解析函数，并根据边界条件决定其中的任意常数。平面问题的复变函数法10§5-2应力和位移的复变函数表示根据应力分量和应力函数的关系一应力分量的复变函数表示平面问题的复变函数法11可得到应力分量的复变函数表示由可得而由平面问题的复变函数法12可得或平面问题的复变函数法13只要已知(z)及ψ(z)，就可以把上述公式右边的虚部和实部分开，由虚部得出τxy，由实部得

4、出σy-σx。和就是应力分量的复变函数表示。当然也可以建立公式，把σx、σy、τxy三者分开用(z)和ψ(z)来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方便。平面问题的复变函数法14二位移分量的复变函数表示假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程可得平面问题的复变函数法15由于并注意到同理可得平面问题的复变函数法16将上两式分别对x及y积分，得其中的f1及f2为任意函数。将上式代入式平面问题的复变函数法17由于平面问题的复变函数法18从而得到于是得到刚体位移f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v0＋ωx故有平面问题的复变函数法19若不计刚体位移，则有由式

5、得到平面问题的复变函数法20这就是位移分量的复变函数表示。若已知(z)及ψ(z)，就可以将该式右边的实部和虚部分开，从而得出u和v。平面问题的复变函数法将结果回代,并两边除以得上述公式是针对平面应力情况导出的。对于平面应变情况，须将式中的E改换为，改换为。21§5-3边界条件的复变函数表示为了求得边界上各结点处的φ值，须要应用应力边界条件，即：而代入上式，即得：平面问题的复变函数法22由图可见，l=cos(N,x)=dy/ds,m=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改写为：由此得：平面问题的复变函数法23设A是边界上的固定点,B为任意一点，则

6、从A到B边界上的合力，可用上式从A点到B点对s积分得到：将式平面问题的复变函数法24代入，整理得：把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。因此，可把应力函数A处的值设为零，于是对于边界上的σ有或这就是应力边界条件。平面问题的复变函数法25对于位移边界条件将其代入下式即得平面应力情况下位移边界条件的复变函数表示平面问题的复变函数法对于平面应变，须将式中的E改换为，改换为。26§5-4多连通域内应力与位移的单值条件应力确定后，应力函数仍可差一个任意的线性函数，这时K-M函数并未完全确定。对于单连通区域，可以通过选取适当坐标系等办法，使得K-M函数完全确定；但

7、对于多连通区域仍不能完全确定。本节讨论K-M函数在多连通区域内满足单值的条件。设有多连通区域，有一内边界C，设在边界C上的外力矢量已给定。通常的多值函数是对数函数，我们设平面问题的复变函数法27DC这里zk为内部边界内的任意一点，f和ψf为单值的解析函数（全纯函数），而Ak，Bk为常数：平面问题的复变函数法28前面的函数的导数是单值的，但他们本身是多值的，当z绕周边一周时，函数值ln(zk)产生一个增量2πi,于是(z)和ψ(z)的增量分别是2πiAk和2πiBk,这时应力主矢量按照公式左边将得到应力主矢量(沿整个边界），右边得到一增量：平面问题的复

8、变函数法29这时位移按照公式也将得到增量，根据单值性这个增量应为零：结合可得到平