若干复杂缺陷平面弹性问题的复变方法分析

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1、若干复杂缺陷平面弹件问题的复变方法研究了～个十分重要的结果口，石。常数其中口，是裂纹扩展的临界应力；a为裂纹半长度。该理论非常成功地解释了玻璃等脆性材料的开裂现象，但应用于金属材料并不成功，主要是由于金属材料的低应力破坏事故并不突出时。所以，在很长一段时间内，这一理论未引起人们的重视。1949年E．Orown在分析了金属构件的断裂现象后对Griffith公式提出了修正，他认为产生裂纹所释放的应变能不仅能转化为表面能，也应转化为裂纹前沿的塑性应变功，而且由于塑性应变功比表面能大很多，以至于可以不考虑表面能的影响

2、，其提出的公式为：吼4’a．0罂)i：常数吼-(—_’)2=雨毅^(3rowan公式虽然有所进步，但仍未超出经典的Griffith公式的范围，而且同表面能一样，应变功u也是难以测量的，因而该公式仍难以实现工程上的应用。断裂力学理论的重大突破应归功于Irwinl21应力强度因子概念的提出，以及断裂韧性概念的形成。1957年，Irwin应用了H．M．Westergaard在1939年提出的解平面问题的一个应力函数，求解了带穿透型裂纹的空间大平板双向拉伸的应力问题，并引入了应力强度因子K的概念，随后又在此基础上形成

3、了断裂韧性的概念，并建立起测量材料断裂韧性的实验技术，从而奠定了线弹性断裂力学的基础。应力强度因子又被称为裂纹前缘弹性应力场奇异性强度系数，或弹性应力场奇异性强度因子，是指在裂纹尖端区域应力场具有，’{阶的奇异性，即在裂纹前缘的应力分tlil骂nOr，O，0,Z)r。-常数。应力强度因子是反映弹性体裂纹尖端区域应力场强度的力学参量，它的大小与作用载荷的大小、位置、裂纹尺寸和带裂纹体的形状有关。当应力强度因子达到一个II缶界值时，裂纹就会失稳扩展，而后导致物体的断裂，这个临界值我们称之为断裂韧度，用K。表示。断

4、裂韧度是材料的固有特性，可通过实验得到。因此，裂纹问题的研究就转变为确定裂纹尖端的应力强度因子。(二)裂纹类型及应力强度因子的确定方法从材料分离的机制上把断裂分类为解理断裂与滑移断裂，从常规力学性能上又把断裂分为脆性断裂与韧性断裂。即使对同一种材料，在相同的环境条件下，但由于所受2内蒙古师范大学硕t学位论丈的外应力(PF载简)4-1司，裂纹的变形也不同。鉴于此，文献f3j把裂纹(或断裂，模式分成三类：即l，II．III型，如图1—1所示(a)张开犁(1型)@滑开型哪型)(c)撕开型(1II型)图lml三种基本

5、裂纹模式I型裂纹为张开型，拉应力垂直于裂纹扩展面，裂纹上下面沿作用力的方向张开，沿裂纹面往前扩展。工程中属于这类裂纹的如板中有一穿透裂纹，其方向与所受拉力方向垂直，或一压力容器中的纵向裂纹。Ⅱ型裂纹即为滑开型，其特征为裂纹的扩展受剪切应力控制，切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂纹线，裂纹沿裂纹面平行滑开扩展。属于这类裂纹的如齿轮或长健根部沿切线方向的裂纹引起的开裂；受扭转的薄壁圆管上贯穿管壁的环向裂纹在扭转力的作用下引起的开裂等。ⅡJ型裂纹为撕开型，在平行于裂纹面与裂纹前沿线方向平行的剪应力的作用下，裂纹面产

6、生沿裂纹面的撕开扩展。在这三种裂纹中，以I型裂纹最为常见，也是最为危险的～种裂纹，所以在研究裂纹体的断裂问题时，这种裂纹是研究的最多的。确定应力强度因子的方法很多，大体上可分为解析法、数值法。解析法中两种常用的方法是复变函数法与积分变换法。复变函数法中又有Westergaardt4i应力函数法、Muskhelishvilil51方法等。其中应用共形映照方法对复杂边界问题的求解较为方便，但复变函数法主要解决二维问题。利用积分交换法可解决二维与三维问题，而数值解法有边界配位法和有限单位圆法。1939年Wester

7、gaard提出了一个用复变函数表示的应力函数，这个应力函数就叫做Westergaard．应力函数，它的形成为矿一ReZ+ylmZ，其中z表示对z(z)积分两次，z表示对Z(z)积分一次，然后根据(7二一Re／l(z)一ylmzl(z)，盯H—ReZl(z)+YImZ；(z)rxy--yReZi(z)，求解应力分量。最初的Westergaard方法仅使用于求解直线型裂纹苕十复杂缺陷甲面弹性问题的复盘方法研究的I型问题，而后Siht叫又把它推广到求解直线裂纹II型问题。对于直线裂纹问题．Westergaard应力

8、函数法起过很重要作用，但对于较复杂的裂纹问题类型如抛物线裂纹很难甚至不可能求出Westergaard应力函数，传统的Westergaard方法不能发挥作JH，在求解应力函数满足的方程V4妒一0时，鉴于求解很困难，我们有时采用Fourier积分变换法。当用Fourier积分变换法解断裂力学问题时，先对彤取Fourier变换，将问题转化为解系列的三维积分方程，而这些方程可以通过Schwarz方法解决。该