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《弹性力学平面问题的复变函数方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、弹性力学平面问题的复变函数方法参考书目陆明万，罗学富。弹性理论基础，清华大学出版社，1997范天佑。断裂理论基础，科学出版社，2003M.I.Muskhelishvili(穆斯赫里什维里），数学弹性力学的几个基本问题，赵惠元译，科学出版社，1958复应力函数对于无（常）体力平面问题，可引入Airy应力函数U，满足22∇∇U=0z=x+iy,z=x−iyU(x,y)=U(z,z)∂U∂∂=(+)U∂x∂z∂z∂2U∂2U∂2U2∇U=+=4∂U∂∂22=i(−)U∂x∂y∂z∂z∂y∂z∂z422∂U∇∇U=16=022∂z∂zU=f(z)+zf(z)+f(z)+zf(z)
2、1234f(z)=f(z),f(z)=f(z)3142U=f(z)+zf(z)+f(z)+zf(z)1212Goursat公式1U=[zφ(z)+zφ(z)+χ(z)+χ(z)]2复应力函数orU=Re[zφ(z)+χ(z)]应力的复势表示222∂U∂U∂Uσ=,σ=,σ=−xx2yy2xy∂y∂x∂x∂yσ+σ=2[φ′(z)+φ′(z)]=4Re[φ′(z)]xxyy∂∂2σ−σ+2iσ=(−i)Uyyxxxy∂x∂y2∂U=4=2[zφ′′(z)+χ′′(z)]原公式有误！2∂z令则ψ(z)=χ′(z)σ−σ+2iσ=2[zφ′′(z)+ψ′(z)]yyxxxy位移
3、的复势表示∂uEx=−=(+)−(1+)σvσσσvσxxyyxxyyyy∂x∂uyE=σ−vσ=(σ+σ)−(1+v)σyyxxxxyyxx∂y∂u∂uyxµ(+)=σxy∂x∂y2∂u∂∂UEx=2[(z)+(z)]−(1+v)φφ2∂x∂x∂x∂u2y∂∂UE=−2i[φ(z)−φ(z)]−(1+v)2代入剪应∂y∂y∂y力表达式∂UEu=2[φ(z)+φ(z)]−(1+v)+f(y)x∂x1df(y)df(x)12−==ω∂UdydxEu=−2i[φ(z)−φ(z)]−(1+v)+f(x)y2∂yf(y)=u−ωy,f(x)=v+ωx1020代表刚体位移，对应力应
4、变无贡献，可以略去∂U∂UE(u+iu)=4φ(z)−(1+v)(+i)xy∂x∂y∂U=4φ(z)−(1+v)2=(3−v)φ(z)−(1+v)[zφ′(z)+ψ(z)]∂z统一表达式2µ(u+iu)=κφ(z)−zφ′(z)−ψ(z)xy⎧3−v⎪平面应力κ=⎨1+v⎪⎩3−4v平面应变边界条件的复势表示位移边界κφ(z)−zφ′(z)−ψ(z)=2µ(u+iu)xyσcos(n,x)+σcos(n,y)=T力边界xxxyxσcos(n,x)+σcos(n,y)=Txyyyydydxcos(n,x)=,cos(n,y)=−dsdsd∂dx∂dy=+ds∂xds∂yds
5、d∂Ud∂UT=(),T=−()xyds∂yds∂xd∂U∂UT+iT=−i(+i)xyds∂x∂y∂U∂U(T+iT)ds=−id[+i]xy∂x∂y=−id[φ(z)+zφ′(z)+ψ(z)]在边界上令A固定，B点变动，将上式对曲线段AB积分，得到∂U∂UBφ(z)+zφ′(z)+ψ(z)=[+i]A∂x∂y=i(T+iT)ds+C∫xyAB复势确定的程度设φ1(z)与ψ1(z)是满足应力组合关系的一对复势，则φ(z)=φ(z)+iCz+γ21ψ(z)=ψ(z)+γ′21也满足应力组合关系。将两组复势代入位移关系，并令两组位移相等，得C=0,κγ−γ′=0给定应力时，
6、利用φ(0)=0,Im[φ′(0)]=0,ψ(0)=0给定位移时，利用φ(0)=0来确定复势复势的结构单连域中复势是单值的解析函数，多连域中，虽然解析，但未必单值。考虑物理上应力和位移必须是单值，可以得到复势的结构。σ+σ=4Re[φ′(z)]xxyyφ′(z)实部单值，但其虚部未必单值，在绕任一内边界后，其虚部可能出现一个增量，设为2πiA则kmφ1′(z)=φ′(z)−∑Akln(z−zk)k=1为多连域中的单值解析函数对上式进行积分得zφ(z)=A[(z−z)ln(z−z)−(z−z)]+φ′(z)dz+C∑kkkk∫1z0mz∫φ1′(z)dz=∑Ckln(z−z
7、k)+φ1(z)z0k=1mmφ(z)=z∑Akln(z−zk)+∑γkln(z−zk)+φ1(z)k=1k=1m类似地ψ(z)=∑γk′ln(z−zk)+ψ1(z)k=1由位移单值条件，有A=0,κγ+γ′=0(k=1,2,Lm)kkk[φ(z)+zφ′(z)+ψ(z)]=i(T+iT)ds=i(X+iY)内边界Lk上有Lk∫xykkLkm1φ(z)=−∑(Xk+iYk)ln(z−zk)+φ1(z)原公式经推导最终得2π(1+κ)k=11m有误！ψ(z)=∑(Xk−iYk)ln(z−zk)+ψ1(z)2π(1+κ)k=1椭圆
