弹性平面问题复变方法的基本方程

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第12卷第1期船舶力学Vo1．12No．12008年2月JournalofShipMechanicsFeb．2008文章编号：1007—7294(2008)01—0063—04弹性平面问题复变方法的基本方程李范春，杜玲，金蓉(大连海事大学机电与材料工程学院，辽宁大连116026)摘要：把弹性力学平面问题的物理量和基本方程全部改写为复数形式，从平衡方程出发引入了复应力函数。利用弹性关系和几何关系，简捷地导出了复位移的表达式。最后由复应力的坐标变换规律给出了应力边界条件的复

2、数形式。关键词：平面问题；复应力函数；坐标变换中图分类号：TB125U661．41文献标识码：AB1as"iceq~uationso0fIcomplexvVariablefluunctionmethnodinelasticityplaneproblemsLIFan-chun,DUZ,ing,JINRong(Electromechanics&MaterialsEngineeringCollege．DalianMaritimeUniversity，Dalian116026，China)Abstract：Allphysic

3、squantitiesandbasicequationsofelasticityplaneproblemsarerewrittenasthecomplexnumberform．Complexstressfunctionsfromequilibriumequationwerederived．Theexpressionsofcomplexdisplacementswerealsoderivedbyusingelasticandgeometryrelations．Finally，thecorn-plexformsofstr

4、essboundaryconditionaregivenbycoordinatetransformlawofcomplexstress．Keywords：planeproblems；complexvariablestressfunction；coordinatetransformation1引言弹性平面问题的复数解法，在很多工程领域都有很多应用，如：在船舶工程领域中的开孔问题及裂纹问题的求解方面它都发挥了重要作用。该方法自Ko／IocoB!1提出，至今已成为固体力学的一个重要分支。其数学推导形式，经千锤百炼，似乎已天

5、衣无缝。Muskhelishvilif2J给出的推导形式严谨，但有些冗长。文献【3，4]采用算子分解方法，推导简捷，但仍然是只注重于数学形式。现有的各种推导，均未能充分揭示该方法的物理实质。本文将给出一种极简捷的推导，以揭示出各复函数的物理意义及他们之间的联系。2复坐标、复应力、平衡方程首先注意，平面问题的平衡方程可写为：(誓+争H+OOry(1)收稿日期：2O07一O9—04作者简介：李范春(1960-)，男，大连海事大学机电与材料工程学院教授，Tel：0411-84723119；E—mail：leefc@126．

6、Bom。_维普资讯http://www.cqvip.com船舶力学第12卷第1期其中i为虚数单位。由平面直角坐标，Y引入两个复坐标、：：+iy．Z-'—iy(2)由普通应力分量O"x，，，引入一个实应力及一个复应力：o-=o-．4-O'y．T=O"—o'+2iO"(3)xxyy利用复合函数微商法及(2)，(3)式，可将(1)式改写为：一：0(4)0zO一z依据(4)式，可引入函数使得：：堕，仁：(5)OzOz由于要求为实数，所以可令：o-=2[~o()+可】(6)其中为的任意解析函数，而上面的横线表示共轭。由(5)。

7、式及(6)式，通过积分可得：=2[；()++()】(7)其中也是的任意解析函数。由(5)式及(7)式，通过微分可得：r=2[z，，()+，((8)(6)，(8)式便是实应力函数及复应力函数的一般表达式。这样，由于应力函数及的引入，平衡方程已自动满足。众所周知，应力尚受协调方程的限制，但是，本文最后将证明，协调方程也已被(6)，(8)式所满足，所以除边界条件外，及不再受其它的约束。3复应变、复位移、几何物理关系由普通应变分量，可引入一个实应变及一个复应变：C-6+~一=一，+2i6xxy由位移分量u、可引入复位移：U=

8、u+iv(10)利用(9)，(10)式及复合函数微商法则，可将几何关系改写为：=2Re(OU)，s(2OU．(11)对于各向同性材料平面应力问题，注意到(3)，(9)式可将弹性关系改写为：=，=(12)其中E，为弹性模量。对于平面应变问题，E应改写为(1一)，而应改写为i,／(1-t,)。利用(11)2，(12)2，(8)式通过积分可得：一半【