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1、§3复变函数及其基本问题一、复变函数的概念二、复变函数的定义区域1•区域定义参照高等数学的多元微分学基础，平行地有:⑴邻域：｛z
2、
3、z_Zo
4、V§｝；去心邻域：｛z0VZ-Zo<=>内点、开集等。⑵区域连通的开集。⑶边界点；边界8D：边界点的全体；闭区域D=D+dDo⑷有界区域与无界区域。2.单连通域和多连通域⑴曲线的表示:设有连续实函数：则其表示一条平面曲线，此时其复式方程：z=x(r)+y(r>=z(r),称z=z(r)为连续曲线，记为z(r)GC[tz,Z?]o例4求过点Z]=坷+iy｝,z2=x2+iy2的直线厶的复式方程。解
5、任取"L,易知，乙_可〃乙2—Z]<=>―=t,即Z_Z[=『(?2_zj,•*.Z=Z
6、+t(z2-Z[)即为所求。例5指出z=ocosf+ibsiiu表示什么曲线?=1椭圆。22解•/z=x+yi,:.x=acost,y=hsint,=＞罕+厶cTb~⑵曲线类型:简单曲线z二z(J,te[a,b]：z(/)wC[o,对且片iw(a,b)时，zCJhz&z)。又称为约当曲线。若Z(a)=Z0),称为简单闭曲线，如图：光滑曲线Z=z(t):兀'(/),yQ)ec[a,b]且兀;2+”2丰0。；±：1°.导数连续：•・•%；2+v；2=
7、0«x；=y；=0n岂2光滑非光滑、按段光滑2°.切线连续变化，几何如图：相接各节光滑的曲线称为按段光滑曲线。⑶单连通域和多连通域单连通域对任简单闭曲线CuD，总有/(C)oDo否则，称D为多连通域或复连通域。注：单连通域的几何特征：无洞！三、复变函数的极限与连续1.极限概念及性质定义4limjf(z)=A：Vg>0,»>O,O<
8、z~zo<^,
9、/(z)-A<£。注：复函数极限定义本质和表述与一元实函数完全相同，但ZTZ。的方式是任意的——同二元函数相同。运算性质设lim/(z),limg(z)存在，贝【J(1)lim[/(z)±g
10、(z)]=lim/(z)±limg(z)；(2)lim/(z)・g(z)=lim/(z)•limg(z);ZTSZ->ZoZTS“Jlim/他、(3)lim牛=一心(、limg(z)H0of0g⑵limg(z八f丿—%定理1设f(z)=u+vi,A=w0+ivQ,z()=x0+iy{},则lim/(z)=Aolimm(x,y)=w(plimv(x,)')=「()。乙一>5X->X()XTX0)fo证明利用定义见教材。2.连续概念及性质定义5函数/(z)在点5处连续：lim/(z)=/(s)。若/(z)在区域D上处处连续，称/(z)在区
11、域D上连续。例6证明：argz在原点及负实轴上不连续。证明当z=0时，argz无定义，故不连续;当zhO时，•••一;rvargzS%,对负实轴上的点z=x<0：limarg^===^,而limarg^=^==o/.limargz不存在，故不连续;ZTX若y>0ZTX若)y0ZTX综上讨论知，argz在原点及负实轴上不连续。定理2函数f(z)=u+vi在点z0=x0+iyQ处连续ow(x,y),v(x,y)在点(无0，儿)处连续。运算性质连续函数的和、差、积、商(分母不为零处)及复合函数仍为连续函数。例7指出函数/(z)=ln(x2+
12、y2)+z(x3-y)的连续区域。解要使其实部与虚部连续，则需〉()0兀,),不同时为0。从而，函数的连续域为z平面除z=0外的区域。第二章解析函数§1解析函数的概念与充要条件导数与微分1•定义及运算定义设zoeD（/）,若lim/（5+“）-/（5）古则称/（"在点A-->0AztOs处可导，其值称为/(z)在5处的导数，记为广(知)或也Z=Zodz/(z)在区域Q内可导o/C)在区域D内处处可导。例1证明：(丄'丿z2证明=limAzt（）/（z+Az）-/（z）_恤蛊zl=Hm-1_L山t（）Az&t（）z（z+Az）vAz-1
13、二丿由导数的定义式，与一元函数完全相同，借鉴例1,可以证明，实函数的求导公式及其运算法则，如四则求导法则、复合求导法则、反函数求导法则等对于复变函数均成立。例2设/(z)=(z?+2z—l)'+A，求广(z)。z解广(z)=5(Z?+2z-1)4(3才+2)一丰=5(3/+2&+2z-1)4-三。zz但是，Az^o或"5+&t5：方向任意，方式无穷。使得复函数多不可导。例3讨论/(z)=Z的可导性解•・•/(z)=Z=x-yi,Ax+/Ay1,沿实轴t=0）,-1,沿虚轴Tz（Ar=0）°・lim于(z+△"_/(?)=Hm(兀+山)
14、_心+0)_(兀-刃)Az->()AyAattOiAy->0Ax-zAy=lim=Ar+iAy从而，/(z)=1处处不可导。2.可导、可微与连续的关系性质可导必连续,但反之不然.证明对Vz0,设厂(5)存在，则lim‘匕
