复变函数及其极限与连续

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1、第五、六节复变函数及其极限与连续一、复变函数的概念二、复变函数的极限三、复变函数的连续性四、小结与思考2一、复变函数的概念1.复变函数的定义:32.单(多)值函数的定义:3.定义集合和函数值集合:44.复变函数与自变量之间的关系:例如,55.映射的概念引入:6映射的定义:7两个特殊的映射:8且是全同图形.910根据复数的乘法公式可知,11(如下页图)12将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.13以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)146

2、.反函数的定义:15根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射.16解例1还是线段.17例1解18例1解仍是扇形域.19二、复变函数的极限1.函数极限的定义:注意:202.极限计算的定理定理一证根据极限的定义(1)必要性.21(2)充分性.22[证毕]说明23定理二与实变函数的极限运算法则类似.24三、复变函数的连续性1.连续的定义:25定理三例如,26定理四27特殊的:(1)有理整函数(多项式)(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.28例2证在z＝－2处连续否？结论：

3、不连续30四、小结与思考复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了.通过本课的学习,熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质.注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同,但在实质上有很大的差异,它较之后者的要求苛刻得多.31思考题1.“函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？32思考题答案在复变函数中,对“函数”、“映射”、“变换”等名词的使用,没有本质上的区别.只是函数一般是就数的对应而言,而映

4、射与变换一般是就点的对应而言的.放映结束，按Esc退出.33例2解34所以象的参数方程为35例4证(一)36根据定理一可知,证(二)3738例5证39根据定理一可知,