复变函数的极限和连续(I)

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1、§1-4复变函数的极限和连续一、复变函数的极限二、复变函数的连续性1注意:一、复变函数的极限2定理1定理2设，，，，则有复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论3定理3设，则有1）2）3）当时，4证明5二、函数的连续性6举例说明如下：78(1)多项式(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.9例2证10例3证11与数学分析中的连续函数一样，我们可类似地证得以下定理定理5函数在简单曲线（包括两端点）或者有界闭区域上连续，则⑴在或者为连续；⑵在它上能取到最大值与最小值；⑶在它上一致连续，即对任意的,存在，使当或者且

2、时，有12定义：如果对于任给定常数，存在，使当，时，有则称当z在E中趋于时趋于无穷大，记作13定义：如果对于任给定常数ε>0，存在，使当且时，有则称当z在E中趋于无穷大时趋于，记作14函数在某点处连续性的判别基本解法：(1)把函数f(z)化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y)(2)利用教材24页定理2判别u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处是否连续若都连续，则f(z)在z0连续若不连续，则f(z0)无意义，即u(x0,y0),v(x0,y0)至少一个不存在不存在或存在但只需验证在某方向上或存在某方向时，有或15证明argz

3、在原点和负实轴不连续由于是分段定义的二元函数当y>0或y<0时，显然是连续的。只要考虑y=0上的点函数argz是否连续即可。(1)由于当x0>0时有即当且时，函数的极限值等于在点(x0,0)处的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此argz在正实轴连续。16(2)argz在z=0点无意义，因此不连续所以分段定义的二元函数argz在y=0且x<0这些点处不连续(3)在y＝0，x<0的半直线上可是综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处连续。f(z)=

4、z

5、的连续性？是复变实值函数，是x,y的二元连续函数，因此在整个复平面

6、上连续。P26,4证明函数f(z)=ln

7、z

8、+iarg(z)在原点和负实轴上不连续性。17函数极限的求法和极限不存在的判别法方法1：当容易看出f(z)在z0点连续时，可用函数在一点处连续的定义来求极限。即方法2：当不能判断f(z)在z0点是否连续时，首先，把f(z)写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。然后，利用教材24页定理2，分别求两个函数u(x,y)和v(x,y)的极限，即例因为

9、z

10、在整个复平面上连续P27,618复数平面表示法定义表示法三角表示法曲线与区域球面表示法复数表示法指数表示法复数的运算共轭运算代数运算乘幂与

11、方根本章主要内容向量表示法19复数运算和各种表示法复数方程表示曲线以及不等式表示区域本章注意两点20第一章完211707.4.15生于瑞士，巴塞尔1783.9.18卒于俄罗斯，彼得堡L.Euler(欧拉)简介Euler是18世纪的数学巨星；是那个时代的巨人，科学界的代表人物。历史上几乎可与Archimedes、Newton、Gauss齐名。他在微积分、几何、数论、变分学等领域有巨大贡献。可以说Newton、Leibniz发明了微积分，而Euler则是数学大厦的主要建筑师。22A.deMoivre棣莫佛简介5.26生于法国1754.11.27

12、卒于英国在概率论、复数理论等领域做了一些出色的工作。解决斐波那契数列的通项问题。L.Fibonacci(1170-1250)23