基本不等式及其应用.ppt

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1、2.4基本不等式及其应用（1）主讲人:毛永强课前学习如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国汉代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？的几何背景：基本不等式自主学习1．探究图形中的不等关系在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为_________这样，4个直角三角形的面积的和是____，正方形的面积为______________由于4个直角三角形的面积不大于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：探究图形变化过程当直角三角形变

2、为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2．得到结论：3．思考：你能给出它的证明吗？证明：因为问题1：对任意正数比较与的大小探究问题问题2：已知x、y都是正数，求证：≥2；分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.证明：∵x，y都是正数∴＞0，＞0=2（当且仅当x=y时，式中取等号。）变式一.已知，求证：，并指出等号成立的条件。变式训练变式二.已知，求证：，并指出等号成立的条件。变式三.已知，比较与2的大小。谢谢大家备用x，y都是正数，证(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.证

3、明：∵x，y都是正数∴x＋y≥2>0∴x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0x2＋y2≥2>0x3＋y3≥2>0∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥＝８x3y3即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3.2·2·2（当且仅当x=y时，式中取等号）（当且仅当x=y时，式中取等号）4.随堂练习1.已知a、b、c都是正数，求证(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc分析：对于此类题目，选择定理：（a＞0，b＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a，b，c都是正数b＋c≥2＞0c＋a≥2＞0∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥８abc.

4、=8abc∴a＋b≥2>02·2·2(当且仅当a=b=c时，上式取等号）本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均()，几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件：(1)、前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.(2)、当且仅当a=b时，以上两式取等号。它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具。5.课时小结5.课外作业课本第113页习题[A]组的第1题