基本不等式及其应用.ppt

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1、刘海洋§3.4基本不等式:ICM2002会标赵爽：弦图ADBCEFGHba基本不等式1：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab基本不等式2：当且仅当a=b时，等号成立。注意：（1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同（2）称为正数a、b的几何平均数称为它们的算术平均数。（当且仅当a=b时，取“=”号）几何解释：半径不小于半弦例1.(1)已知并指出等号成立的条件.(2)已知与2的大小关系,并说明理由.(3)已知能得到什么结论?请说明理由.应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系练

2、习2：若，则（）（1）（2）（3）B练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式其中恒成立的。应用二：解决最大（小）值问题例2、已知都是正数，求证（1）如果积是定值P，那么当时，和有最小值（2）如果和是定值S，那么当时，积有最大值（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误小结：利用求最值时要注意下面三条：例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）

3、一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？2、(04重庆）已知则xy的最大值是。练习：1、当x>0时，的最小值为，此时x=。213、若实数，且，则的最小值是（）A、10B、C、D、4、在下列函数中，最小值为2的是（）A、B、C、D、DC例4、求函数的最小值构造积为定值，利用基本不等式求最值思考：求函数

4、的最小值发现运算结构,应用不等式变式2．试判断与1的大小关系？变式3．试判断与7的大小关系？构造和为定值，利用基本不等式求最值例5、已知，求的最大值练习：已知且，则最大值是多少？例：应用三：求最值利用极值定理求最大值和最小值时应注意：一正二定三相等另注意:(1)项的配凑;(2)“1”的代换;(3)公式的变形.应用三：求最值练习：注：当式子中等号不成立时，则不能用此重要不等式，而改用函数单调性求最值。求证:对任意实数a,b,c有a2+b2+c2ab+bc+ac当且仅当a=b=c时等号成立.若a,bR+,且a+b=1,求证:ab1/4

5、,并指出等号成立的条件．若a,bR+,且ab=S(S>0,S为正值),求证:a+b2,并指出等号成立的条件．某新建居民小区欲建一个面积为700平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求长边外人行道宽3米，短边外人行道宽4米，怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结果精确到0.1米）求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。基本不等式的几何解释：半弦CD不大于半径ABEDCab●