基本不等式及其应用 (2).ppt

《基本不等式及其应用 (2).ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.4基本不等式这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。弦图证明勾股定理a(勾)b(股)c(弦)案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之朱实四，以勾股之差自相乘，为中实黄，加差实亦成弦实。问题1：图案里除了相等关系即勾股定理，是否还能找出不等关系？提示：观察正方形的面积和4个直角三角形的面积。探究1ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：

2、S___>__S′问：那么它们有相等的情况吗？结论：当且仅当a=b时等号成立。问题2：探讨不等式成立的条件？（即a，b的取值范围）结论：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立思考：你能给出不等式的证明吗？基本不等式1：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R注意基本不等式1深化认识：替换后得到：即：即：探究2问题1：思考：为什么可以这样替换？a，b需要满足什么条件？取到等号的条件是什么？特别地，若a>0，b>0，则≥

3、当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式2.基本不等式2：在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0通常我们把上式写作：问题2：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD

4、=______②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径长不小于半弦长ADBEOCab问题2：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度

5、认识基本不等式1例2：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ABDC若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.例2：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件.一“正”二

6、“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).14小结：求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式作业课本P100习题3.4A组第2、3题思考题1.求函数f(x)

7、=x+(x＞-1)的最小值.1x+12.若0