高考数学优化方案第2章§24.ppt

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1、§2.4函数的奇偶性与周期性考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考2.4函数的奇偶性与周期性双基研习·面对高考双基研习·面对高考1．函数的奇偶性基础梳理奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有___________，那么函数f(x)是偶函数关于____对称奇函数如果函数f(x)的定义域内任意一个x都有_____________，那么函数f(x)是奇函数关于____对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点2.函数的周期性(1)周期的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取

2、定义域内的每一个值时，都有____________，则称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为函数f(x)的周期．(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的____________．f(x＋T)＝f(x)最小正周期思考感悟1．奇、偶函数的定义域有什么特点？提示：奇、偶函数的定义域在数轴上都关于原点对称．2．存在既是奇函数又是偶函数的函数吗？提示：存在，f(x)＝0(x∈R)．1．(教材例4改编)设f(x)＝x3＋2x，g(x)＝2x4＋3x2，则y＝f(x)·

3、g(x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案：A课前热身答案：A答案：A5．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f(3)＝__________.答案：0首先判定函数的定义域．定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的必要条件，再判定函数f(x)是否满足奇偶性的定义或者图象特征，对于分段函数要逐段讨论．参考小结与复习例3.考点探究·挑战高考考点一函数奇偶性的判定考点突破例1【思路分析】可从定义域入手，在定义域关于原点对称情况下，考查f(－x)与f(x)的关系．【误区警示】对于(1)只代入－x而得

4、出偶函数结论，对于(2)易丢掉定义域，对于(3)只判断一部分．函数的周期性是指函数的重复性变化，是对于定义域内的所有自变量x来说的，不是指某几个特定的自变量，若T是它的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是该函数的一个周期．考点二函数的周期性设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x＋2)＝－f(x)，(1)求f(0)的值，f(2)的值．(2)证明f(x)是周期函数，并求最小正周期．【思路流程】(1)x＝0→f(0)→f(2)；(2)f(x＋4)→f(x＋2)→T.例2【解】(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，

5、∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，当x＝0时，f(2)＝－f(0)＝0.(2)证明：由f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．互动探究1在本例中条件不变，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．有关函数问题，要充分考虑到它的所有性质：定义域、值域，最值、奇偶性、单调性、周期性、并结合图象综合运用．考点三函数性质的综合应用例3【思路分析】(1)x1＝x2＝1→f(1)；(2)令x1＝－1→f(－

6、x)＝f(x)；(3)x＝1对称→f(x)＝f(2－x)→f(x)＝f(2＋x)．方法技巧1．奇、偶函数的性质(1)设函数f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们公共定义域上有：当f(x)，g(x)均为奇函数时，f(x)＋g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数；当f(x)，g(x)均为偶函数时，f(x)＋g(x)是偶函数，f(x)·g(x)是偶函数；奇函数的反函数也是奇函数．如课前热身1、2.方法感悟(2)若f(x)是偶函数⇔f(x)＝f(

7、x

8、)；若奇函数f(x)的定义域内含有数0，则必有f(0)＝0.如例

9、2.(3)若函数f(x)为奇函数，在[a，b]上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数．若函数f(x)为偶函数，在[a，b]上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数．(4)函数奇偶性的判定方法①利用定义f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0.f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0.②利用图象的对称性f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于____对称．f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____对称．2．函数的“周期性”与“对称性”的伙伴关系(1)设a为非零常数，

10、若对于f(x)的定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立．原点y轴失误防范1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．如例1的(1)、(2)．2．判断分段函数奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可