平行四边形的判定（从对角线、角判定平行四边形）.doc

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1、判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1：证明两组对边分别相等例1如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF＝CE.ABCDEF（图1）123求证：四边形ACEF是平行四边形.证明：∵DE是BC的垂直平分线，∴DF⊥BC，DB=DC.∴∠FDB=∠ACB=90°.∴DF∥AC.∴CE=AE=AB.∴∠1=∠2.又∵EF∥AC，AF=CE=AE，∴∠2=∠1=∠3=∠F.∴△ACE≌△EFA.∴AC=EF.∴四边形ACEF是平行四边形

2、.思路2：证明两组对边分别平行例2已知：如图2，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，D在BC上，延长ED到F，使ED=DF=EB.连结FC.求证：四边形AEFC是平行四边形.ABCDEF（图2）证明：∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB.∵ED=EB，∴∠B=∠EDB.∴∠ACB=∠EDB.∴EF∥AC.∵E是AB的中点，∴BD=CD.∵∠EDB=∠FDC，ED=DF，∴△EDB≌△FDC.∴∠DEB=∠F.∴AB∥CF.∴四边形AEFC是平行四边形.思路3：证明一组对边平行且相等（图3）ABCDEFMN3321例3如图3，已知平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=C

3、F，M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C.又∵AE=CF，∴△ADE≌△CBF.∴∠1=∠2，DE=BF.∵M、N分别是DE、BF的中点，∴EM=FN.∵DC∥AB，∴∠3=∠2.EABCD1234（图4）F∴∠1=∠3.∴EM∥FN.∴四边形ENFM是平行四边形.二、考虑“对角”关系思路：证明两组对角分别相等例4如图4，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点.求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形.证明：（1）在正方形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠A=∠

4、C=90°，∵AE=AD，CF=BC，∴AE=CF.∴△ABE≌△CDF.（2）由（1）△ABE≌△CDF知，∠1=∠2，∠3=∠4.∴∠BED=∠DFB.∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠ADC，ABCDOP1P2（图5）∴∠EBF=∠EDF.∴四边形BFDE是平行四边形.三、考虑“对角线”的关系思路：证明两条对角线相互平分例5如图5，在平行四边形ABCD中，P1、P2是对角线BD的三等分点.求证：四边形AP1CP2是平行四边形.证明：连结AC交BD于O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.∵BP1=DP2，∴OP1=OP2.∴四边形AP1CP2是平行四边形.