平面向量期末复习.doc

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1、数学必修4平面向量复习一基本概念:1.向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．零向量：长度为的向量．2.单位向量：是模（长度）为1的向量，若其坐标为(x，y)，其中x，y满足x2+y2=13.平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行，．4.相等向量：长度相等且方向相同的向量．5．向量的坐标i、j是与x轴、y轴方向相同的单位向量，若a==xi+yj，则A(x，y)叫做向量a的坐标，记作a==(x，y)．二、向量运算：向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角

2、形不等式：．⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．⑸坐标运算：设，，则．向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设，，则．设、两点的坐标分别为，，则．注意：正反思维：向量数乘运算：⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．⑵运算律：①；②；③．⑶坐标运算：设，则．平面向量的数量积：1．向量的夹角：向量a和b，作=a，=b，则ÐAOB=q(0°£q£180°)叫做向量a和b的夹角．2.数量积：⑴．零向量与任一向量的数量积为．坐标

3、运算：设两个非零向量，，则．即3性质：设和都是非零向量，则①当与同向时即θ=0°，；当与反向时即θ=180°，；⑶或．③．4运算律：①；②；③．5.特别注意：①向量的投影：向量b在a方向上的投影是：

4、b

5、cosq②当q为锐角时，且与不同向；当q为钝角时，且与不反向；当q=90°时，③数量积不适合乘法结合律如(a×b)×c¹a×(b×c)(∵(a×b)×c与c共线，而a×(b×c)与a共线)．④．数量积的消去律不成立若a、b、c是非零向量且a×c=b×c，并不能得到a=b．三、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

6、内的任意向量，有且只有一对实数、，使．1．不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底2、分点坐标求法：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，求点P的坐标的方法：设P的坐标为则∴当四、向量的应用：（一）求长度 ①若，则，或②两点间的距离：若，，,（二）证垂直：向量垂直的条件：（三）向量平行(共线)的充要条件： ①向量与共线即，存在唯一实数，使②三点A、B、C共线共线(四).求向量夹角：是与的夹角，设、都是非零向量，，，5则．注意：的范围：五、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；

7、使得。2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式1）是的重心;若是的重心，则故;为的重心.2）是的垂心;若是(非直角三角形)的垂心，则故3）是的外心若是的外心,则故4）是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记的单位向量为，则刚才是内心的充要条件可以写成　是内心的充要条件也可以是若是的内心，则　故;的内心;向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；六、基础训练（1）已知，且，则向量在向量上的投影为（2）已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点

8、共线，则y=_________.（3）非零向量和满足：，则与的夹角等于.七、典例讲解.例1.已知，，（1）证明：三点共线.（2）为何值时，①向量与平行②向量与垂直例2、平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。例3.已知向量，，（1）若求的值。（2）求的最小值.（3）求函数=·的单调增区间5八、巩固练习1．已知平面内三点A（-1，0），B（x，6），P（3，4），且=，x和的值分别为()A．-7，2B．5，2C．-7，D．5，2、向量，满足，，则的取值范围是．3、已知，，，则　　

9、　　　．4、已知+，２－，则向量+2与2－（）A、一定共线B、一定不共线C、仅当与共线时共线D、仅当=时共线5、已知ABC顶点A（―1，），B（2，3）及重心坐标G（1，），则顶点C的坐标为__________6．已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且，又P是线段OB的中点，则点B的坐标是7、已知

10、

11、=

12、

13、，，且（+）（k-），则k的值是()A．1B．-1C．0D．-28、已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_____________________9、已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）,为一动点

14、，及，（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由。10、