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时间:2020-02-26
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1、平面向量复习一、有关概念:1.向量:________________叫做向量,向量的大小叫做__________.2.零向量:________________,方向是任意的.3.单位向量:________________的向量.4.平行向量(共线向量):________________.规定零向量与任何向量平行.5.相等向量:长度相等且方向相同的向量.二、基本运算:1.加法运算:(1)加法的几何运算的法则:①_____________法则(图1);②_________法则(图2).图2图1图3(2)加法的坐标运算:设,则=________
2、____.2.减法运算:(1)减法的几何运算的三角形法则(图3).(2)减法的坐标运算:设,则=____________.设,则____________.3.实数与向量的积:定义:实数与向量的乘积是一个向量,记做,(1)︱︱=︱︱︱︱;(2)当>0时,与的方向_______;当<0时,与的方向_____;当=0时,=___.(3)若=(),则=__________.4.平面向量的数量积:(1)定义:已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=____________.其中︱︱cos称为向量在方向上的投影.特别地,设=(),=(),则=____
3、________________;cos=_____________________;︱︱==_______________.(2)运算律:;;.强调:数量积运算不满足结合律.三、定理公式1.平面向量基本定理:若,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使得__________________.2.两向量平行:;设,则.3.两向量垂直:;设,则.4.重要结论:(1)在中,若为边上的中线,则.(2)设点为的重心,则.(3)设向量,则三点共线.四、思想方法1.数形结合思想.“形无数时难入微,数无形时难直
4、观.”向量就是使“数”和“形”和谐统一的一种工具.在解题时,常常将向量的加减运算用它的几何意义来表示,以达到直观简捷的目的.有时也需将几何意义用向量的加减法算式、坐标表达出来,和三角等联系起来,以便于计算.2.等价转化的思想.将向量的代数运算转化为几何运算;如果对向量的几何运算法则不熟悉,也可由向量的坐标运算法则转化为实数的运算,即将向量的加法、减法、数乘和数量积转化为实数的加、减、乘的运算,这都体现了等价转化的思想.平面向量单元练习一、填空题:1.下列命题:①两个相等向量的模相等;②若和都是单位向量,则;③相等的两个向量一定是共线向量;
5、④,,则;⑤零向量是唯一没有方向的向量;⑥两个非零向量的和可以是零.其中正确的命题序号是.2.已知,若,则的取值范围是________.3.任给两个向量和,则下列式子恒成立的有________________.①②③④4.若,且,则四边形的形状为________.5.梯形的顶点坐标为,,且,,则点的坐标为___________.6.的三个顶点坐标分别为,,,若是的重心,则点的坐标为__________,__________________.7.若向量,,,则___________(用和表示).8.与向量垂直的单位向量的坐标为_______
6、_________.9.设,,若与的夹角为锐角,则的取值范围是______.10.已知A、B、C三点在同一直线上,A(3,-6),B(-5,2),若点C的横坐标为6,则它的纵坐标为.11.已知,,则的取值范围是_________.12.边长为1的等边三角形ABC中,=.13.已知向量、不共线,且,则与的夹角为__________.14.在中,,,则下列推导正确的是___.①若则是钝角三角形;②若,则是直角三角形;③若,则是等腰三角形;④若,则是直角三角形;⑤若,则△ABC是正三角形.二、解答题:15.已知且,,.计算.16.设、、分别是的
7、边、、上的点,且,,若记,,试用,表示、、.17.已知,,且与夹角为120°.求:⑴;⑵;⑶与的夹角.18.已知,设.(1)求函数的最小正周期,并写出的减区间;(2)当时,求函数的最大值及最小值.19.已知,且,设,,.①若与共线,求;②求的面积.20.已知三点,,,若向量(k为常数且0
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