南大复变函数与积分变换课件(PPT版)23 初等函数.ppt

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1、§2.3初等函数一、指数函数二、对数函数三、幂函数四、三角函数五、反三角函数六、双曲函数与反双曲函数复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们两者是一样的。§2.3初等函数的定义方式尽可能保持一致。本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：映射关系等等。定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、单值性以及特别是当自变量取实值时，特别要注意与实初等函数的区别。一、指数函数对于复数称定义为指数函数,记为或注(1)指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数都通过指数函数来定义。(2)借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：P41定义2.5一、指数函数性质(1)是单值函数。

2、事实上，对于给定的复数定义中的均为单值函数。事实上，在无穷远点有(2)除无穷远点外，处处有定义。当时，当时，(3)因为性质事实上，由有(6)是以为周期的周期函数。事实上，一、指数函数(w)(z)yxwyvu(w)一、指数函数(7)映射关系：性质由有由z的实部得到w的模；由z的虚部得到w的辐角。xzy二、对数函数对数函数定义为指数函数的反函数。记作即满足方程的函数称为对数函数，定义计算令由有由z的模得到w的实部；由z的辐角得到w的虚部。P43定义2.6二、对数函数显然对数函数为多值函数。主值(枝)称为的主值(枝)，记为故有分支(枝)特别地，当时,的主值就是实对数函数。对于任意一个固定的

3、k，称为的一个分支(枝)。二、对数函数性质在原点无定义，故它的定义域为(1)(2)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续；在除去原点及负实轴的平面内连续。特别地，注意到，函数在原点及负实轴上不连续。注意到，函数在原点无定义；或者指数函数由反函数求导法则可得进一步有(在集合意义下)二、对数函数性质(3)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；在除去原点及负实轴的平面内解析。特别地，主值解(1)(2)主值解主值求对数以及它的主值。例▲可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。P43例2.11三、幂函数称为复变量z的幂函数。还规定：当a为正实数，且时，(为复常数，)定义函数规定为注意上面

4、利用指数函数以一种“规定”的方式定义了幂函数，但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，?即P45定义2.7讨论此时，处处解析，且当为正整数时,(单值)(1)此时，除原点外处处解析，且当为负整数时,(2)(单值)当时,(3)三、幂函数讨论其中，m与n为互质的整数，且(5)当为无理数或复数()时，当为有理数时,(4)(值)n此时，除原点与负实轴外处处解析，一般为无穷多值。此时，除原点与负实轴外处处解析。且三、幂函数解可见，是正实数，它的主值是例求的值。求的值。例解可见，不要想当然地认为P46四、三角函数启示由欧拉公式有余弦函数正弦函数定义P47定义2.8四、三角函数性质周期性、可导

5、性、奇偶性、零点等与实函数一样；各种三角公式以及求导公式可以照搬；有界性(即)不成立。(略)例求根据定义，有解例求根据定义，有解五、反三角函数记为如果定义则称w为复变量z的反余弦函数，计算由同理可得P49定义2.9六、双曲函数与反双曲函数双曲正切函数双曲余切函数双曲正弦函数定义双曲余弦函数P49定义2.10六、双曲函数与反双曲函数反双曲正切函数反双曲余弦函数反双曲正弦函数定义反双曲余切函数P50休息一下……