南大复变函数与积分变换课件.ppt

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1、第五章留数及其应用§5.2留数§5.1孤立奇点§5.3留数在定积分计算中的应用§5.1孤立奇点一、引言二、零点三、孤立奇点四、孤立奇点的分类五、如何进行孤立奇点的分类六、如何判断极点的阶数一、引言本章重点解决闭路积分问题。DrC如图，考虑积分(1)若在G上连续，在D上解析，则(2)若在D上有唯一的奇点则此时，将函数在点的邻域内进行洛朗展开，由则积分“不难?”得到。G则称为的零点；(1)若所谓函数的零点就是方程的根。定义设函数在处解析，(2)若在处解析且则称为的m阶零点。对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。结论即在零点的一个小邻

2、域内，函数无其它零点。二、零点P106定义5.2P107(进入证明?)二、零点定理设函数在处解析，则下列条件是等价的：(1)为的m阶零点。(2)其中，(3)在内的泰勒展开式为充要条件(如何判断零点的阶数?)P107定理5.4(进入证明?)其中，二、零点充要条件(如何判断零点的阶数?)定理设函数在处解析，则下列条件是等价的：(1)为的m阶零点。(2)(3)在内的泰勒展开式为收敛且解析例故为的一阶零点。例故为的三阶零点。是的三阶零点。是的三阶零点。方法一方法二是的二阶零点。是的二阶零点。三、孤立奇点邻域内解析，则称为孤立奇点。使得在去

3、心且存在定义设为的奇点，例为孤立奇点。例原点及负实轴上的点均为奇点，但不是孤立奇点。P102定义5.1例(1)令为孤立奇点；(2)也是奇点，但不是孤立奇点。邻域内解析，则称为孤立奇点。使得在去心定义设为的奇点，且存在三、孤立奇点P102例5.3四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类将在内定义设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：(1)若有则称为的可去奇点。(即不含负幂次项)P103四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：则称为的N阶极点；

4、(即含有限个负幂次项)(2)若有且有特别地，当时，称为的简单极点。四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：(即含无限个负幂次项)(3)若有则称为的本性奇点。四、孤立奇点的分类根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类定义将在内设为的孤立奇点，展开为洛朗级数：小结(1)可去奇点不含负幂次项；(2)N阶极点含有限多的负幂次项,且最高负幂次为N；(3)本性奇点含有无穷多的负幂次项。可去奇点本性奇点N阶极点可去奇点本性奇点N阶极点(2)N阶极点(3)本性奇点不存

5、在且不为(常数)；(1)可去奇点方法注在求时，可使用罗比达法则。(该条件只能判断是极点)N阶极点五、如何进行孤立奇点的分类P103~105定理5.1~~5.3(不含负幂次项)解是的奇点，由是的可去奇点。可知，将在的去心邻域内的洛朗级数，有注如果约定在点的值为1，则在点就解析了，因此称为的可去奇点。P105例5.4解是的奇点，考察极限是的本性奇点。因此，将在的去心邻域内的洛朗级数，有注(含无穷多个负幂次项)由不存在且不为可知，(含有限个负幂次项，且最高负幂次为2)解是的奇点，由是的极点。可知，将在的去心邻域内的洛朗级数，有注可见，为

6、的二阶极点。解是的奇点，由是的极点。可知，将在的去心邻域内的洛朗级数，有注可见，为的三阶极点。含有限个负幂次项且最高负幂次为3是否还有其它办法来判断极点的阶数呢？问题六、如何判断极点的阶数则为的N阶极点。1.若其中在点的邻域内解析，且为的N阶极点的充要条件(即定义)为：事实上，其中，在点的邻域内解析，且P105式(5.1)六、如何判断极点的阶数2.若零点，且为的n阶零点，为的m阶则(1)当时，(2)当时，即为的可去奇点。为的(n-m)阶极点。P107定理5.5是的一阶极点。判断函数的奇点的类型。例是的二阶极点。解由于是的可去奇点，

7、故解由于是的一阶极点，故解令故是的一阶极点。由于是的一阶零点，判断函数的奇点的类型。例但不是的零点，解令由于是的二阶零点，故是的二阶极点。由于是的四阶零点，解故是的二阶极点。将在的去心邻域内的洛朗级数，有因此，为的二阶极点。注直接利用洛朗级数来判断奇点类型的方法最好也能够掌握且是的二阶零点，由于是的三阶零点，解故是的二阶极点。判断函数的奇点的类型。例由于是的三阶零点，解故是的二阶极点。什么情况下会出现本性奇点呢?且是的一阶零点，且是的一阶零点，为可去奇点。为可去奇点。判断下列函数的奇点的类型。例上述函数都有一个共同点：为本性奇点。

8、为本性奇点。为本性奇点。考虑下面两类函数：小结(2)(1)比较分子分母的零点的阶数可去奇点,N阶极点。函数连续可去奇点,本性奇点?休息一下……附：不恒为零的解析函数的零点是孤立的即得不恒为零的解析函数的零点是孤立的。设在处解析且由在处解析，有在处连