南大复变函数与积分变换课件(PPT版)1 复变函数复习

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1、考试安排考试时间:一、2009年11月23日晚上7:00~9:30考试地点:(略)答疑时间:二、2009年11月21日上午下午22日上午下午晚上23日上午答疑地点:科技楼南楼813室计算数学系主要内容复数的几种表示及运算；区域，曲线；初等复变函数。Cauchy-Riemann方程：(1)判断可导与解析，求导数；Fourier变换的概念,δ函数，卷积。Cauchy积分公式，Cauchy积分定理，高阶导数公式。Laurent展式。留数：(1)计算闭路积分；保形映射：(1)求象区域；利用Laplace变换求解常微分方程(组)

2、。(2)构造解析函数。(2)计算定积分。(2)构造保形映射。一、构造解析函数问题已知实部u，求虚部v(或者已知虚部v，求实部u)，使解析，且满足指定的条件。注意必须首先检验u或v是否为调和函数。方法偏积分法全微分法(略)方法偏积分法一、构造解析函数(仅考虑已知实部u的情形)(2)将(A)式的两边对变量y进行(偏)积分得：其中，已知，而待定。(3)将(C)式代入(B)式，求解即可得到函数(1)由u及C-R方程得到待定函数v的两个偏导数：(A)(B)(C)二、将函数展开为洛朗级数根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运

3、算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式2.间接展开法1.直接展开法(略)二、将函数展开为洛朗级数r1r2r3都需要根据函数的奇点位置，将复平面(或者题目指定无论是直接展开法还是间接展开法，在求展开式之前，注意的展开区域)分为若干个解析环。比如设函数的奇点为展开点为则复平面被分为四个解析环：则特别，若若为的可去奇点，则法则若为的本性奇点，则在的邻域内展开为洛朗级数。三、利用留数计算闭路积分1.计算留数若为的m级极点，则法则注意只需计算积分曲线C所围成的有限区域内奇点的留数。三、利用留数计算闭路积

4、分2.计算闭路积分其中，三、利用留数计算闭路积分2.计算闭路积分要求R(u,v)是u,v的有理函数。四、计算定积分(2)1.方法(1)令则其中，是在内的孤立奇点。四、计算定积分要求(1)P(x),Q(x)为多项式，(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高二次,(3)分母Q(x)无实零点。2.设方法则其中，是在上半平面内的孤立奇点。四、计算定积分要求(1)P(x),Q(x)为多项式，(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高一次,(3)分母Q(x)无实零点。3.设方法则其中，是在上半平面内的孤立奇点。3

5、.四、计算定积分要求(1)P(x),Q(x)为多项式，(2)分母Q(x)的次数比分子P(x)的次数至少高一次,(3)分母Q(x)无实零点。特别(1)预处理工具：几种简单的分式映射、幂函数等。五、构造保形映射目标：使边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。(2)将区域映射为角形域或者带形域方法：将边界的一个交点映射为∞；z1另一个(交)点映射为0。z2[]工具：步骤(一般)(3)将角形域或者带形域映射为上半平面步骤(4)将上半平面映射为单位圆(一般)工具：(对于角形域)(对于带形域)工具：(无附加条件)(由附加条件确定)五、

6、构造保形映射六、求解常微分方程(组)步骤得到象函数求解微分方程(组)象函数的代数方程(组)Laplace正变换微分方程(组)的解Laplace逆变换(1)将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)；(2)求解代数方程得到象函数；(3)求Laplace逆变换得到微分方程(组)的解。工具几个常用函数的Laplace变换六、求解常微分方程(组)已知复数的实部与虚部，求模与(主)辐角。七、其它求复数的方根求导公式对数函数幂函数七、其它柯西积分定理函数在D内解析，在边界C上连续，则柯西积分公式函数在D内解析，在边界C上连续，则高

7、阶导数公式函数在D内解析，在边界C上连续，则七、其它幂级数的收敛半径(1)比值法如果则收敛半径为(2)根值法如果则收敛半径为函数在点展开为泰勒级数，其收敛半径等于从点到的最近一个奇点的距离。(3)求保形映射下的象区域(1)分式映射、幂函数以及指数函数的映射特点。(2)保形映射的分解与复合。单位冲激函数(2)对称性质(1)筛选性质(3)重要公式卷积与卷积定理七、其它轻松一下吧……