机械振动3强迫振动8-10.ppt

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1、第三章受迫振动3.8系统对任意激励的响应·卷积积分3.9系统对任意激励的响应·傅里叶积分3.10用拉普拉斯变换法求系统响应·传递函数3.8系统对任意激励的响应·卷积积分上节讨论了周期激励作用下的振动响应，在不考虑初始阶段的瞬态响应时，它是稳态的周期振动。但在现实中激励并非是周期的，而是任意的周期函数，或者是在极短时间内的冲击作用。在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动。激励停止后，系统按固有频率作自由振动。若激励持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也会持续下去。对任意激励的响应，求解方法有多种：3

2、.8.1脉冲响应对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数δ(t)表示δ函数也称为单位脉冲函数，定义为：对于τ时刻的单位脉冲函数，表示为：O-εε（3.1.1）δ函数的性质:特别地，当时刻τ=0时，有：实际应用时，通常f(t)在时才有意义冲量为的脉冲力可借助δ函数表示为：当I=1时，为单位脉冲力。因而有：现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应单位脉冲响应记：-ε、ε为单位脉冲力的前后时刻运动微分方程与初始条件可合写为：或脉冲响应乘dt：在脉冲力作用的瞬间，

3、位移来不及变化，但速度可产生突变令：0-εε两边在区间内对时间积分：在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬间，位移则来不及有改变，也习惯表示为：x(0+)=x(0-)当t>ε时，脉冲力作用已经结束，此时物体得到了速度增量1/m。由于ε无限小，所以记为：质量越大，越小质量越小，越大若系统受到冲量为I脉冲作用，结束时物体得到了速度增量I/m。系统受脉冲I作用，因脉冲结束后无后续激励，因此响应为自由振动。其初始条件为：初位移为零，而初速度为I/m。对无阻尼系统：因此解为：对单位脉冲，其响应为脉冲响应，记

4、为h(t)：3.8.2卷积积分当处于零初始条件的系统受到任意激励时，可以将激励F(t)看作一系列脉冲力的叠加对于时刻t=τ的脉冲力，系统受脉冲作用后产生速度增量：并引起t>τ各个时刻的响应系统的脉冲响应：其冲量为：由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统在时间区间内各个脉冲响应的总和得：杜哈梅(Duhamel)积分利用卷积性质：若初始条件非零，则：若阻尼为零，则非零初值条件下的响应：对于周期激励的无阻尼系统：与零初值条件的受迫振动的稳态响应一致。3.8.3阶跃函数响应在t1时刻开始受到突加的常值力作

5、用，强度为F0试用杜哈梅积分计算系统在t≥t1时段内的响应。解：由于在t

6、与常值力激励相同：在t>t1时段，其激励相当于2个常值力激励的叠加，响应也是两个对应的响应叠加。因此利用上例的结果：即得到解：对于无阻尼系统，即ζ=0，矩形脉冲激励的响应为：直接解法：（1）时（2）时解法三：（仅对于无阻尼情形）当t>t1时激励力已经消失，此时系统将以时刻t=t1时的位移和速度为初始条件做自由振动，称为残余振动先求t=t1时刻的位移和速度，前面已解得：得t=t1时刻的位移和速度：即为t>t1时的响应。在t=t1开始作自由振动：3.9系统对任意激励的响应·傅里叶积分上节讲到用杜哈梅积分，可以计算任意

7、非周期激励的响应。那是在时间域内的变化关系，本节从另一角度出发，改在频率域内讨论激励和响应的关系。对于任意非周期函数F(t)，可看成为周期T趋于无限大的周期函数。频谱图中相邻频率Δω=2π/T视为无限小量，则可以认为频率在区间(-∞,∞)上接近于连续分布。设周期力F(t)的频率为ω，周期为T=2π/ω。将F(t)展开为傅里叶级数，以复数形式表示为：其中：回顾，傅里叶展开级数：将傅里叶展开式中的nω改用ωn表示，周期T以2π/Δω代替：当Δω→0时，离散变量ωn转变为连续改变的频率变量ω，上式转化为：（3.9-5）

8、将其中的TFn视为ω的连续函数，改用Φ(ω)表示：（3.9-7）Φ(ω)称为激励的频谱函数。积分式（3.9-8）称为函数F(t)的傅里叶变换。（3.9-8）（3.9-7）积分式（3.9-7）称为函数Φ(ω)的傅里叶逆变换，它将非周期函数F(t)表示为频率为ω、强度为Φ(ω)dω的简谐分量的无限和。函数Φ(ω)和F(t)共称为傅里叶变换对。回顾，受迫振动：（b）其中Xn为系