机械振动PPT电子课件教案-第四章 单自由度系统强迫振动

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1、单自由度系统的强迫振动强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动强迫振动的形式本章讨论单自由度线性系统在周期激扰（激励或扰动）作用下的强迫振动，通常称为振动系统对周期激扰的响应.周期激扰可以是作用于振动系统的周期扰力，也可以是振动系统支座的周期运动。振动系统的周期扰力——回转体质量偏心振动系统的周期扰力——系统支座的周期运动周期起伏路面对行驶中车辆的激励、振动地面对精密机床的激励正弦激励法的作用对于实际的振动系统的参数测量，实际上通常加一系列的正弦信号，通过测量系统的响应，来获得振动系统的参数，即所谓正弦激励法，例如正弦扫频等。系统激励响应讨论简谐输入意义这种情形比较简单，而所得

2、的结论却有很重要的工程应用；任意的周期激扰，都可以通过Fourier级数，分解成若干个正弦型激扰的和利用线性系统的叠加性，可得到全响应。系统激励响应例子如右图所示，物体沿垂直方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，铅直向下为x轴正向，建立如图所示的坐标系。受力情况如图，其扰动力为：变量说明扰力：称为扰力的力幅，为常值扰力的频率，简称扰频，为常值系统运动微分方程由牛顿第二定律：整理这就是无阻尼振动系统在简谐扰力作用下的运动微分方程。定义辅助变量令：表示在静力条件下，系统受到一个大小为的力作用时的位移。方程和通解的标准形式这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解

3、由两部分组成：齐次解代表齐次微分方程的解，简称齐次解，由前面的单自由度无阻尼自由振动可得：特解代表方程的一个特解，由激扰力的形式可知方程的特解可以表示成为：积分常数积分常数的确定将代入微分方程，可得：并令：，称为频率比，可得：微分方程的通解齐次解积分常数的确定对通解求导可得应用初始条件由初始条件，时，初始位移和初始速度分别为：通解表达形式将得到的代入方程的通解表达式：方程解可以写成：解的讨论从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有频率，表示系统在简谐激励下的强迫振动，与激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关，表示激扰力引起的自由振动对扰力

4、引起自由振动的讨论令初始条件：，微分方程的解简化为：可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个简谐振动之和已经不再是简谐振动。频率比对振幅的影响对于周期扰动作用下的运动，我们关心的主要是强迫振动，为激扰力引起的强迫振动，在时，强迫振动的振幅随着的增大无限增大，直到时，即激扰力的频率和系统的固有频率相等的时候，理论上的振幅趋于无穷大，这种现象称为共振。频率比对振幅的影响在时，我们将写成，从而保证振幅为正值。从中可以看出，质量的位移与扰力正好反向，振幅随着的增大而无限减小。放大率在静力作用下，系统的静挠度为，可见：体现了扰力的动力作用，这个量

5、的绝对值记为放大率：放大率-频率比曲线放大率和频率比之间的关系，即为曲线的意义曲线只表示振动系统稳态运动的情形，亦即激扰固定在某一频率时，系统振幅达到定值后的情形。共振的讨论在共振时，系统的振幅将达到无穷大，事实上，这是不可能的，首先，系统存在阻尼，在下节大家将会看到，微小的阻尼就会限制振幅的无限增大。另一方面，在振幅无限增大的过程中，线性弹簧的假设也不再成立。共振时微分方程的特解在的时候，方程的特解也不再为而应该表示为如下形式：，特解的导数积分常数的确定代入微分方程：，从而：，共振特解的讨论方程的特解可以写成：可见，共振的时候，强迫振动的振幅随着时间的增大而按比例的增大。对于许多机

6、器，在正常运转时，其扰频都远远超过系统的固有频率，所以在启动和停止的过程中，都要通过共振区，由于共振的振幅随时间线性增大，只要缩短通过共振区的时间，就可以顺利通过共振区。阻尼强迫振动实际的振动系统都是有阻尼的，下面来讨论有粘性阻尼的系统，在简谐扰力作用下的强迫振动。运动简图和坐标建立如右图所示，物体沿水平方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正向，建立如图所示的坐标系。受力情况如图，其扰动力为：其中称为扰力的力幅，为常值；为扰力的频率，简称扰频，也为常值。建立微分方程根据牛顿第二定律：令：方程变形为：，，，解的组成这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程

7、理论，它的解由两部分组成：代表齐次微分方程的解，简称齐次解，为的一个特解，又称稳态解齐次解的讨论当时，由前面的单自由度阻尼自由振动可得：其中：，称为衰减振动的圆频率。并且：，特解的讨论由于激励为简谐的，根据微分方程的理论，上述微分方程有如下形式的特解：将，，代入可得：系统的全响应其中：，微分方程响应：（系统激励，A为激励的幅值）解的讨论第一项是齐次解，也称为瞬态解，代表衰减的自由振动，自由振动在运动开始后很短的时间内迅速消失，通常可以不加考虑。；第二项是特