机械振动PPT电子课件教案-第二章 单自由度振动系统

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1、单自由度振动系统单自由度系统自由振动单自由度系统阻尼振动单自由度系统强迫振动单自由度定义只有一个自由度的振动系统，称为单自由度振动系统，简称单自由度系统.自由度：指完整描述一个振动系统时间特性所需的最少的独立坐标数，在理论力学中用广义坐标数。几种单自由度系统的示例无阻尼自由振动自由振动：系统在初始激励下，或外加激励消失后的一种振动形态。系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象，是一种理想条件，实际的系统都有阻尼。如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世界将处于无休止的振动中。以系统的静平衡位置为坐标原点，以水平向右为轴正向

2、，建立如图所示的坐标系设在某一瞬时t,质量沿坐标方向有一位移x，画出质量此时的隔离体受力图。自由振动是系统在初始激励下或外加激励消失后的一种振动形态。自由振动时系统不受外界激励的影响，其振动规律完全取决于系统本身的性质。通解为：自由振动的运动微分方程：三角公式推导根据三角函数公式令：幅值和相角的确定由前面推导结论1单自由度无阻尼自由振动为简谐振动——位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或余弦）结论2响应满足叠加原理系统在初始位移单独作用下的自由振动，此时，系统在初始速度单独作用下的自由振动，此时，系统总响应振动系统总的响应

3、=上述两部分响应之和叠加性是线性系统的重要特征数字特征——振幅，振动物体离开静平衡位置的最大位移——圆频率——振动周期，旋转矢量转动一周（），振动物体的位移值也就重复一次，振动周期：振动重复一次所需要的时间间隔——振动频率，单位时间内完成的振动的次数固有特性可见，上述三个量都由振动系统的参数确定，而与初始条件无关，是系统的固有特性，因而又称作：固有圆频率、固有周期和固有频率系统的初始条件只决定振动的振幅和初相位系统参数对振动特性的影响振系的质量越大，弹簧越软，则固有频率越低，周期越长；质量越小，弹簧越硬，则固有频率越高，

4、周期越短，这个结论对复杂的振动系统也同样的适用分析弹簧悬挂物体的垂直振动以振子的平衡位置为坐标原点，建立如图所示的坐标系，弹簧的自有长度为，当物体从平衡位置离开时，弹簧的伸长为，则物体的隔离体受力如图所示：简图微分方程和求解可以写出系统的微分方程由于所以，上式得化简结果仍然是：结果因此，系统的固有频率仍然是：由代入上式：得到：结论由弹簧的静变形可以计算出系统的固有频率在写微分方程的时候，可以以物体的静平衡位置为坐标原点，而不必考虑物体重力造成的弹簧静变形能量法原理在阻尼可以略去不计的条件下，振动系统自由振动时的机械能（动

5、能+势能）保持常值。对上式两端求导，可得振无阻尼自由动系统为一保守系统，总机械能在运动中保持不变。两边乘以令证明1证明2定义动能系数则有振动得以维持的原因是系统有储存动能的惯性元件和储存势能的弹性元件。由于不考虑能量耗散，无阻尼自由振动时机械能守恒，机械能的大小取决于初始条件和系统参数。振动时动能、势能不断相互转换，因此势能有一个最小值。使势能取最小值的位置正是系统的静平衡位置。系统有稳定的平衡位置，其动能和势能可以相互转化，在外界激励的作用下，才能产生振动。因而，振动总是在平衡位置附近进行。利用能量守恒原理是求解微分方

6、程的重要手段称为Rayleigh商例题：如图所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过一转动惯量为I的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自由度系统，求系统的固有频率。系统的势能为ox解：原点取在静平衡位置，弹簧的相对伸长为x，滑轮沿顺时针方向转过一个角度x/r系统的动能包括滑轮的转动动能和质量的平动动能由与书上的结果比较：注意势能的计算，可以不计重力势能，只相差一个常数，不影响计算结果自由振动系统性质对一个振动系统，如在动能最大时，取势能为零，则在动能为零时，势能取最大值。

7、常见物体的动能计算质点或平动刚体定轴转动的刚体平面运动的刚体常见物体的势能计算拉伸弹簧扭转弹簧刚体的重力势能K为抗扭弹簧系数势能参考点的选取势能是一个参考值，和其具体值的大小和参考点选取有关在使用时，要注意，势能基准值的选取，应使振动系统在动能最大时，势能为零。例一如图的系统，使其偏转角后放手，求系统的微分方程和固有频率例一解选取圆盘的扭转角为广义坐标，箭头方向为正向，平衡位置为转角零点，建立如图所示的广义坐标系统的动能系统的势能由系统机械能守恒得：由于是方程的平凡解，两边除，并令：方程化简为：例二系统如图，杆和弹簧的质

8、量不计，在静平衡时水平，求其系统的微分方程和固有频率（提示：取静平衡位置为坐标原点，可不考虑重力势能，当偏角很小时，弹簧的伸长，圆球的位移和速度可以表示为：）能量法的优点从上面的分析可以看出，用机械能守恒求解比较方便，而且比较规范，对照大家以前的学过的Lagrange方程，大家可以看出，实际就是无约束系统Lagran