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《高中数学第三章3.1.3两个向量的数量积课堂导学案新人教选修.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.3两个向量的数量积课堂导学三点剖析一、利用数量积公式求两个向量的夹角的余弦值【例1】如右图，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求OA与BC夹角的余弦值.思路分析：要求夹角的余弦值，可先利用公式求OA·BC的数量积.解：∵∴=
2、
3、
4、
5、cos〈,〉-
6、
7、
8、AB
9、cos〈,〉=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-16.∴cos〈,〉=.∴OA与BC夹角的余弦值为.温馨提示由数量积公式可知cos〈a·b〉=因此要求角的余弦值可先求a·b.二、利用数量积的性质解决问题【例2】如下
10、图，已知平行四边形ABCD中，AD＝４，CD＝３，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，求PC的长．思路分析：可将表示成几个向量相加的形式,再由数量积的性质a2=
11、a
12、2求出长度.解:∵,∴
13、
14、2＝·=()2＝＝62＋42＋32＋2｜｜
15、
16、cos120°＝61-12＝49．∴PC＝7．温馨提示求PC的长，先把PC转化为向量表示，然后自身点积根据已知向量的模及向量间的夹角得其模的平方，再开方即为所求．三、证明垂直问题【例3】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.思路分析:要证EF⊥平面B1A
17、C,可证EF与平面B1AC内的两条相交直线垂直,因此只需证·=0及·B1C=0,即可.证明：设AB=a,=c,=b,则=+=(+)=()=()=(-a+b+c),=a+b.∴=(-a+b+c)5(a+b)=(b2-a2+c·a+c·b)=(
18、b2
19、-
20、a
21、2+0+0)=0.∴,即EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC.温馨提示要证明垂直问题，在平行六面体内或在四面体内，一般先选一组基底，然后用向量数量积的性质，证明数量积为零，即可说明两向量垂直.各个击破类题演练1四面体ABCD的各棱长都相等，E、F分别是BC、AD的中点，
22、求异面直线AE、CF所成角的余弦值.解析：如右图，设边长为a.∵=(),==,∴·=（）（）=（a2cos60°-a2cos60°+a2cos60°-a2）=.又
23、
24、=
25、
26、=,∴cos〈·〉=.∴余弦值为.变式提升1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，边长为e,求向量与向量的夹角.解：设基向量=a,=b,=c,则=-a-b，=-a+c，∴=(-a-b)·(-a+c)=e2∴cos〈,〉==.∴夹角为60°.类题演练2已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且两两夹角为60°.则AC1长是多少?解析：∴
27、
28、2=（）2=+·+
29、·+2·=1+1+1+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°+2×1×1cos60°=6.∴
30、
31、=.变式提升2已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°，求AC′的长.解析：，则
32、
33、=
34、
35、2=85，则
36、
37、=.类题演练3已知空间四边形ABCD，连AC、BD，若AB=CD，AC=BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线.解析：，，均可用，，表示，只要证·=0，·=0即可.变式提升3如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是DD1的中
38、点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.证明：连接DB，取=a,=b,=c,且
39、a
40、=
41、b
42、=
43、c
44、=1.则有=+=a+b,=+=+=()+=a-b+c,∴·=（a+b）·（a-b+c）=
45、a
46、2+a·b-a·b-
47、b
48、2+a·c+b·c=-=0.∴⊥,即AC⊥OB1.又=+=b+c,∴·=（a-b+c）·（b+c）=a·b-
49、b
50、2+c·b+a·c-b·c+
51、c
52、2=-+=0，∴⊥，即OB1⊥AP.∴OB1⊥平面ACP.
