高中数学第三章3.1.3两个向量的数量积学案新人教选修.docx

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1、3.1.3　两个向量的数量积1．理解空间向量夹角的概念及表示方法．2．理解两个向量的数量积的概念．3．会利用数量积的定义及运算律，计算两个向量的数量积及向量的模．1．两个向量的夹角(1)定义及表示：已知两个______向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则角________叫做向量a与b的夹角，记作__________；(2)范围和性质：规定____________，显然有〈a，b〉＝〈b，a〉；如果〈a，b〉＝90°，则称a与b互相垂直，记作________．【做一做1】向量a，b不共线且模相等，m＝a＋b，n＝a－b，则〈m，n〉＝__________两个向量

2、同向时，其夹角为0；反向时，其夹角为π.2．异面直线(1)定义：不同在________平面内的两条直线；(2)两条异面直线所成的角：把异面直线______一个平面内，这时两条直线的夹角(________)叫做两条异面直线所成的角；如果所成的角是______，则称两条异面直线互相垂直．【做一做2】正四面体ABCD中，AB与CD的位置关系是(　　)A．平行B．垂直C．不垂直D．不能确定对异面直线定义的理解需注意的问题：①“不在同一平面内的两条直线”是指不在任意一个平面内的两条直线，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性．②不能把异面直线误解为：分别在不同平面内

3、的两条直线为异面直线．3．向量的数量积已知空间两个向量a，b，则

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉叫做两个空间向量a，b的______(或______)，记作a·b，即，a·b＝____________.【做一做3】

8、a

9、＝2，

10、b

11、＝3，〈a，b〉＝60°，则a·b＝__________.4．空间向量数量积的性质(1)a·e＝

12、a

13、cos〈a，e〉(e为单位向量)；(2)a⊥b⇔________；(3)

14、a

15、2＝__________；(4)

16、a·b

17、≤______.两个向量的数量积的性质的作用：性质(1)可以帮助我们求两个向量的夹角．性质(2)用于判断空间两个向量是否垂直．性质

18、(3)主要用于计算向量的模．性质(4)主要用于不等式的证明．5．两个空间向量的数量积满足的运算律(1)(λa)·b＝____________；(2)a·b＝__________(交换律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【做一做4】下列各式中不正确的是__________．①＝a；②a·b＝0⇒a＝0，或b＝0；③

19、a·b

20、＝

21、a

22、

23、b

24、；④a·(b＋c)＝(b＋c)·a.1．如何理解空间向量的夹角？剖析：(1)只有两非零向量才定义夹角，求向量夹角注意把向量平移到同一起点；(2)向量夹角的范围是[0，π]，向量同向时夹角为0，向量反向时夹角为π；(3)注意零

25、向量与任意向量平行，零向量与任意向量垂直．2．如何理解异面直线？剖析：(1)两直线不同在某一个平面不一定是异面直线，异面直线是不同在任何一个平面内，异面直线既不平行也不相交；(2)注意异面直线所成角的范围是；(3)在空间中两直线垂直但未必相交．3．如何理解空间向量的数量积？剖析：(1)空间向量的数量积是平面向量数量积的推广；(2)空间向量的数量积运算符号是“·”，不能省略，更不是“×”；(3)空间向量的数量积(内积)是一个实数而不是一个向量，它有别于数乘向量；(4)因为a·(b·c)没意义，所以空间向量的数量积不满足结合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c；(5)若a·b＝

26、k，不能得出a＝；(6)a⊥b的充要条件是a·b＝0，这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法，同时也说明了命题“a·b＝0⇒a＝0，或b＝0”的错误性．题型一求空间向量的夹角【例1】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求下列各向量的夹角：(1)与；(2)与.分析：结合图形，利用空间向量的夹角定义求．反思：求两个向量的夹角一种方法是结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义通过解三角形来求，但要注意向量夹角的范围．另一种方法是先求a·b，然后利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．题型二求空间向量的数量积【例2】已知长方体ABCD－A′B′C

27、′D′，AB＝AA′＝2，AD＝4，E为侧面AB′的中心，F为A′D′的中点，计算下列数量积：(1)·；(2)·；(3)·.反思：求两个向量m，n的数量积一般分为两个层次：一是结合图形确定向量m，n的模及〈m，n〉的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性．二是选定一组基向量表示向量m，n，从而把m，n的数量积，通过运算转化为基向量之间的数量积来求．题型三空间向量的数量积的应用【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与C