高中数学第三章3.1.3两个向量的数量积课后导练新人教选修

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1、3.1.3两个向量的数量积课后导练基础达标1.已知非零向量a,b不平行，并且模相等，则a+b与a-b之间的关系是()A.垂直B.共线C.不垂直D.以上都可能答案：A2.如右图,已知PA⊥平面ABC，∠ＡＢＣ＝１２０°，ＰＡ＝ＡＢ＝ＢＣ＝６，则PC等于()A.62B.6C.12D.144答案：C3.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则

2、a-b+2c

3、等于()A.B.5C.6D.答案：A4.已知在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，ＡＢ＝４，ＡＤ＝３，ＡＡ′＝５，∠ＢＡＤ＝９０°，∠

4、ＢＡＡ′＝∠ＤＡＡ′＝６０°，则ＡＣ′等于()A.85B.C.5D.50答案：B5.已知

5、

6、=5,

7、

8、=2,〈,〉=60°，=2+,=-2,则以OC、OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为________________.答案：6.已知

9、a

10、=3,

11、b

12、=4,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°，m⊥n，则λ=_________________．答案：7.已知空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC.M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG

13、⊥BC.证明：如右图，连结ON，设∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，又设=a，=b，=c，则

14、a

15、=

16、b

17、=

18、c

19、，又=（）=［+（）］=（a+b+c），=c-b，∴·=（a+b+c）（c-b）=（a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c）=（

20、a

21、2cosθ-

22、a

23、2cosθ-

24、a

25、2+

26、a

27、2）=0.∴OG⊥BC.8.如下图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B、D间的距离.解：∵∠ACD=90°,∴·=0.同理·=0.∵AB与

28、CD成60°角,∴〈,〉=60°或120°.又=++,∴

29、

30、2=

31、

32、2+

33、

34、2+

35、

36、2+2·+2·+2·=3+2×1×1×cos〈,〉=∴

37、

38、=2或.即B、D间的距离为2或.9.如右图，空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点.求下列向量的数量积（1）；（2）；（3）；（4）.解析:在空间四边形ABCD中，

39、

40、=

41、

42、=a,〈,〉=60°,(1)·=a·acos60°=.(2)

43、

44、=a,

45、

46、=a,〈,〉=60°.∴·=a2cos60°=.(3)

47、

48、=,

49、

50、=a,又

51、∥，〈,〉=π.∴·=a2cosπ=.(4)∵

52、

53、=a,

54、

55、=a,EF∥BD，∴〈,〉=〈,〉=60°.∴·=a2cos60°=a2.综合运用10.若a,b为两个非零向量,a·b=0,则下列各式中成立的是（）A.

56、a

57、=

58、b

59、B.(a+b)·（a-b）=0C.(a+b)·（a-b）=

60、a

61、2-

62、b

63、2D.

64、a+b

65、=

66、a

67、+

68、b

69、答案：C11.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，则a2是下列哪一数量积的结果（）A.2B.2C.2D.2答案：B12.若

70、

71、a

72、=

73、b

74、，且非零向量a与b不平行，则a+b与a-b的夹角是____________.答案：90°13.在四面体P—ABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，P在△ABC内的射影为O.试用向量法证明O为△ABC的垂心.证明：如右图,设=a,=b,=c.∵PA,PB,PC两两互相垂直,∴a·b=0，b·c=0，c·a=0.又PO⊥平面ABC,∴PO⊥AB,∴·=0.又=-=b-a，∴·=（b-a）·c=b·c-a·c=0.又∵=,∴·=·（）=·-·=0，∴AB⊥CO.同理可证AO⊥BC,BO⊥AC,∴O

75、为△ABC的垂心.拓展研究14.已知线段AB⊥平面α,BCα,CD⊥BC,且CD与平面α成30°角，D与A在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求AD的长.解析:∵

76、

77、2=·.∴要求AD的长只要把用、、表示，再求其自身的数量积即可.解：∵=++,∴

78、

79、2=·=（++）·（++）=

80、

81、2+

82、

83、2+

84、

85、2+2·+2·+2·①∵AB=BC=CD=2,∴

86、

87、=

88、

89、=

90、

91、=2，②又∵AB⊥α,BCα,∴AB⊥BC,∴·=0,③CD⊥BC,∴·=0.④把②③④代入①可得：

92、

93、2=4+4+4+2·=12+2·

94、

95、·

96、

97、

98、cos〈,〉=12+8·cos〈,〉⑤如右图所示，过D作DF⊥α于F，连CF，则∠DCF为直线CD与α所成的角.∴∠DCF=30°,从而∠CDF=60°,又∵AB⊥α.DF⊥α,∴AB∥DF.∴〈,〉=〈,〉=60°.∴〈,〉=120°代入⑤式得到

99、

100、2=12+8cos120°=12-4=8,∴

101、

102、=.从而AD=.