高中数学第三章3.1.3两个向量的数量积课堂探究学案新人教选修

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1、3.1.3两个向量的数量积课堂探究探究一求向量的数量积求两个向量m，n的数量积一般分为两个层次：一是结合图形确定向量m，n的模及〈m，n〉的大小，直接利用空间向量数量积的定义来求，此种情况下要注意向量夹角的正确性；二是选定一组基向量表示向量m，n，从而把m，n的数量积通过运算转化为基向量之间的数量积来求．【典型例题1】已知长方体ABCDA′B′C′D′，AB＝AA′＝2，AD＝4，E为侧面AB′的中心，F为A′D′的中点，计算下列数量积：(1)·；(2)·；(3)·.解：如图，设＝a，＝b，＝c，则由题意，得

2、a

3、＝

4、c

5、＝2，

6、b

7、＝4，

8、

9、＝2，〈，〉＝45

10、°，a·b＝b·c＝c·a＝0，(1)·＝

11、

12、

13、

14、cos〈，〉＝2×2×＝4；(2)·＝b·＝

15、b

16、2＝16；(3)·＝·＝－

17、a

18、2＋

19、b

20、2＝2.探究二求夹角和距离1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用

21、a

22、2＝a·a，即

23、a

24、＝通过向量运算求

25、a

26、.2．对于空间向量a，b，有cos〈a，b〉＝.利用这一结论，我们可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的范围是，故〈a，b〉∈时它们相等，而当〈a，b〉∈时，它们互补．【典型例题2】如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等

27、于a，点M，N分别是边AB，CD的中点．(1)求MN的长；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．思路分析：(1)求线段长，要利用向量的平方求解，关键是找到表示2的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解；(2)求夹角问题是向量数量积的逆用．解：设＝p，＝q，＝r.由题意

28、p

29、＝

30、q

31、＝

32、r

33、＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.(1)＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，∴

34、

35、2＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－q·p－r·p)]＝＝×2a2＝.∴

36、

37、＝a，∴MN的长为a.(2)设向量与的夹角为θ，∵＝(＋)＝(q＋r)，＝－A＝q－p

38、，∴·＝(q＋r)＝＝＝＝a2.又∵

39、

40、＝

41、

42、＝a，∴·＝

43、

44、·

45、

46、·cos〈，〉＝a·acosθ，∴cosθ＝，∴向量与夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM夹角的余弦值也为.探究三数量积性质的应用1．对于空间两个非零向量a，b，由夹角公式得a⊥ba·b＝0.利用这一关系，可以很好地处理立体几何中的垂直问题．2．证明两直线垂直，可以转化为证明两向量垂直，即证两向量数量积为零．【典型例题3】已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.思路分析：解答本题即要证PM⊥QN，只要证明·＝0，需将，用其他向

47、量表示后再进行计算即可．证明：如图，设＝a，＝b，＝c，又P，M分别为OA，BC的中点，∴＝－＝(b＋c)－a＝[(b－a)＋c]．同理，＝(a＋c)－b＝－[(b－a)－c]．∴·＝[(b－a)＋c]·＝－(

48、b－a

49、2－

50、c

51、2)．又AB＝OC，即

52、b－a

53、＝

54、c

55、，∴·＝0，∴⊥，即PM⊥QN.探究四易错辨析易错点　将向量的夹角与直线夹角混淆【典型例题4】如图，空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，计算·.错解：·＝·＝

56、

57、·

58、

59、cos〈，〉＝cos60°＝.错因分析：〈，〉＝120°，错解写成了〈，〉

60、＝60°.忽视了向量的方向，混淆了向量夹角与直线夹角．正解：·＝·＝

61、

62、·

63、

64、·cos〈，〉＝cos120°＝－.