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1、双曲线定义的灵活运用武夷山一中张俊玲《双曲线》是普通高屮课程标准实验教科书《数学》选修2-1第二章《圆锥1111线与方程》的重点内容2—，《双曲线的定义》是其屮最基础也是最灵活的一部分，内容不多，但应用却十分广泛。几乎每年的高考祁会出现考查闘锥线的定义的试题，预计今后还会加大考查力度，因此熟练掌握双曲线定义的有关应用是I•分必要的。此外双曲线的定义在使用过稈屮变幻无穷，若能熟练掌握，在解决问题时，必能取得事半功倍的效果。以下我们就从九个方面，14个例题来探讨一下有关双曲线定义的灵活应用。【预备知识】1、双曲线第一定义：我们把平面内与两个定点Fl、F2的距离的
2、差的绝对值等于常数(小于
3、F,F2
4、)的点的轨迹叫做“双曲线”。这两个定点叫做双曲线的“焦点”，两蕉点间的距离叫做双曲线的“焦距”。2、双曲线第二定义：我们把平血内到一个定点和到一条定直线的距离Z比为常数£@>1)的点的轨迹叫做“双曲线”。这个定点叫做双曲线的“焦点”，这条定直线叫做双曲线的准线。【灵活应用】一、求方程兀v9例1：求与椭圆—=1同焦点，且过点P(5,-)的双曲线的标准方程。169422解：・・•焦点(±5,0)在x轴上，・・・设双
5、山线方稈为冷—二=l(d>0">0)9丁点P(5,—)在双Illi线上，•••根据双Illi线第一定义有：42心
6、
7、
8、眄
9、-
10、“2卜J(5+5)2+£)2_J(5_5)2+(y=822/.a=4又Tc二5・・・b二3・•・双曲线方程为——丄一=1169例2：已知半圆x2+y2=l(y>0)交x轴于AB,点P在半圆上，且ZPAB求以A、B为焦点且过点P的双1111线的方程。解：•・•焦点A(-1,0)B(1,0)在x轴上，22・•・设双曲线方程为二一匚=1(。>0,b>0)a~b~连结PB,TAB是半圆的直径,/.ZAPB=90°・・•ZPAB=60°且AB=2,/.PA=1
11、PB
12、=V3,兀1A 丿Ib.•・•点P在以A、B为焦点的双曲线上・•・根据双曲线第一
13、定义有：2a=
14、
15、PA
16、-
17、PB
18、
19、=V3-1即a=，一又c=l：.b2=c2-a2=—・•・双曲线方稈为—__r_=2.V3V3_122二、求轨迹例3：已知动点P的坐标（x,y）满足』（戈=求动点P的轨迹。x+y+2解：设F(l,1),/:x+y+2=0,则『F
20、=Jd_l)2+(y_l)x+y+2""TT"PF2M2>1o由双曲线第二定义可知，点P的轨迹是双曲线。22例4：如图点P为双lill线二一丄亍二1（。〉0">0）上一点，R、F2是双曲线的两个焦点，M为PF?的屮CT决试求点M的轨迹。TP为双曲线上的点，.••根据双曲线第一定义有：^PF-
21、PF^=2a点,解:连结0M,则0M为△RPR的中位线:.PF}=2MOX
22、PF2
23、=2
24、MF2
25、一2
26、mf2
27、
28、=2a.
29、
30、mo
31、-
32、mf2
33、
34、=。且°35、PF」=1则
36、1-
37、PF2
38、
39、=16,即1-
40、PF2
41、=±16®
42、PF2
43、=17或-15（负值舍去）ypO22例6:已知双曲线方程为笃一耳=1（。>0
44、,0>0），点A、B都在双曲线的右支上,线段AB经过双crtr曲线的右焦点鳧,且AB=m,Fl为双曲线的另一个焦点,求△ABN的周长。解：•••点A、B在双曲线的右支上:.AF,-AF2=2a且BF}-BF2=2a两式相加得:AF}+阿I-(AF2+BF2)=4a又AF2+
45、BF91=
46、AB
47、,/.AFX+BFXI=4a+AB=4°+加A()BF2XF,:.AFX+BF、+AB=4(7+2AB=4a+2m,:.AABF)的周长为4a+2m°四、求面积22例7：点R、F2分别是双曲线「-工一=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足Z
48、FFF2=120°,49求AFiPF?的面积。解：设PF^=m,PF2=n根据双曲线第一定义有：tn-n=2^=4①在△EPF?屮根据余弦淀理有：m2+n2—2mncos120°=（2c）2=52（2）由①得m'+n'—2mn二16g）由©得m'+n'+mn=52（4）©-③得mn=12・・・AEPE2的面积S=-mnsin6^=-x12xsin120°=3^32222［推广］:若双曲线方稈为乂一亠二1（。〉0,">0）,ZFFF2二&CT方一（点P在双曲线上,且F】、F2是双曲线的两个焦点）设PF{=m,PF2=n则有：m-n=2am24-2
49、-2mncos0=（2c）2=>=>=>rm24-/
