双曲线定义的灵活运用(论文)

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1、双曲线定义的灵活运用武夷山一中张俊玲《双曲线》是普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》的重点内容之一，《双曲线的定义》是其中最基础也是最灵活的一部分，内容不多，但应用却十分广泛。几乎每年的高考都会出现考查圆锥线的定义的试题，预计今后还会加大考查力度，因此熟练掌握双曲线定义的有关应用是十分必要的。此外双曲线的定义在使用过程中变幻无穷，若能熟练掌握，在解决问题时，必能取得事半功倍的效果。以下我们就从九个方面，14个例题来探讨一下有关双曲线定义的灵活应用。【预备知识】1、双曲线第一定义：

2、我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做“双曲线”。这两个定点叫做双曲线的“焦点”，两焦点间的距离叫做双曲线的“焦距”。2、双曲线第二定义：我们把平面内到一个定点和到一条定直线的距离之比为常数的点的轨迹叫做“双曲线”。这个定点叫做双曲线的“焦点”，这条定直线叫做双曲线的准线。【灵活应用】一、求方程例1：求与椭圆同焦点，且过点的双曲线的标准方程。解：∵焦点（±5，0）在x轴上，∴设双曲线方程为∵点在双曲线上，∴根据双曲线第一定义有：∴a=4　　又∵c=5∴b=3　　∴双曲线

3、方程为PＡOＢxy例2：已知半圆交ｘ轴于AB，点P在半圆上，且；求以A、B为焦点且过点P的双曲线的方程。解：∵焦点Ａ（－１，0）Ｂ（１，０）在x轴上，∴设双曲线方程为连结PB，∵AB是半圆的直径，∴且，∴，∵点P在以A、B为焦点的双曲线上5∴根据双曲线第一定义有：　即又c=1　　∴　　∴双曲线方程为二、求轨迹例3：已知动点P的坐标（x，y）满足，求动点P的轨迹。解：设F(1,1)，，则，且P到的距离即。由双曲线第二定义可知，点P的轨迹是双曲线。PF1OF2·Ｍy例4：如图点P为双曲线上一点，F1、F2是双曲线的

4、两个焦点，M为PF2的中点，试求点M的轨迹。x解：∵P为双曲线上的点，∴根据双曲线第一定义有：连结OM，则OM为△F1PF2的中位线∴又∴∴根据双曲线第一定义可知，点M的轨迹是以O、F2为两焦点的双曲线。三、求长度PF1OF2yx例5：双曲线上一点P到一个焦点的距离为1，则点P到另一个焦点的距离为。解：设两焦点分别为F1、F2，则不妨设则，即故（负值舍去）BF1OF2xyA例６：已知双曲线方程为，点Ａ、Ｂ都在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2　，且，F1为双曲线的另一个焦点，求△ABF1的周长。解：

5、∵点Ａ、Ｂ在双曲线的右支上∴且两式相加得：又，∴∴，∴△ABF1的周长为。5四、求面积例7：点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积。PF1OF2yx解：设，根据双曲线第一定义有：　在△F1PF2中根据余弦定理有：ｍ２＋ｎ２－２ｍｎcos120°=（２c）２=52　由得　ｍ２＋ｎ２－２ｍｎ=１６　由得　ｍ２＋ｎ２＋ｍｎ=52　-得ｍｎ=12∴△F1PF2的面积[推广]：若双曲线方程为，∠F1PF2=（点P在双曲线上，且F1、F2是双曲线的两个焦点）设

6、，　y则有：PF1OF2x△F1PF2的面积如例6中：b2=9，=120°，故△F1PF2的面积五、求角度PF1OF2yx例8：点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，求∠F1PF2的大小。解：设，　根据双曲线第一定义有：,即又mn=32时∴ｍ２＋ｎ２=100在△F1PF2中根据余弦定理有：，∴∠F1PF2＝90°5六、求离心率和渐近线PF1OF2yx例9：如图点F1、F2是双曲线的左右焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若∠PF1F2＝45°，求双曲线的离心率和渐近线方程。解：依

7、题意有，∴∴又根据双曲线第一定义有：∴,∴双曲线的离心率∴∴双曲线的渐近线方程为七、求坐标例10在双曲线上求一点P使得（其中F1、F2分别是双曲线的左右焦点）。PF1OF2y解：，∴点P在双曲线的右支上x∵双曲线的准线方程为∴根据双曲线第二定义有：∵点P在双曲线的右支上且∴∴∴代入双曲线方程得。∴点P的坐标为PF1OF2yxDEGC．例11：已知点P为双曲线右支上一点，F1、F2为左、右焦点。⊙C为△F1PF2的内切圆，求⊙C在边F1F2上的切点的坐标。解：如图设⊙C与△F1PF2三边分别切于点D、E、G∵点P

8、在双曲线的右支上，∴由切线长定理知，∴又，∴可见点G为双曲线右支上的点又点G也是⊙C在边F1F2上的切点，∴点G为双曲线与x轴的交点，即点G为双曲线的右顶点，坐标是（，0）5八、求最值PF1OF2y．A例12：设点P为双曲线右支上一动点，F1、F2为左、右焦点。若A（3，1），求的最小值。解：∵点P在双曲线右支上，由双曲线第一定义可知：∴∴要求出的最小值，只要求出的最小值显然仅当点A、